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2016届河南省洛阳市高三毕业班练习(三)数学(理)试题(解析版)


2016 届河南省洛阳市高三毕业班练习(三) 数学(理)试题
一、选择题 1.已知复数 z ? (1 ? i )(1 ? ai ) 是实数,则实数 a 的值为( A.1 B.0 【答案】A C.-1 D. ?1 )

【解析】试题分析: z ? (1 ? i)(1 ? ai) ? (1 ? a) ? (1 ? a)i 是实数,所以 1 ? a ? 0

, a ? 1 , 选 A. 【考点】复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数 的 四 则 运 算 , 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 , 如

(a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i,(a, b, c.d ? R) . 其次要熟悉复数相关基本概
念,如复数 a ? bi(a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a ? b 、对应点为 ( a, b) 、
2 2

共轭为 a ? bi. 2.下列命题正确的个数为(


2

2 (1)命题“ ?x0 ? R, x0 ; ? | x0 |? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? | x |? 0 ”

(2)若 p 是 q 的必要条件,则 ? p 是 ? q 的充分条件;
a b (3) a ? b 是 ( ) ? ( ) 的充分不必要条件.

3 4

3 4

A.3 B.2 【答案】B

C.1

D.0
2

2 【解析】试题分析:命题“ ?x0 ? R, x0 ? | x0 |? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? | x |? 0 ” ,

(1)正确;若 p 是 q 的必要条件,则 ? q 是 ? p 的必要条件,即 ? p 是 ? q 的充分条件,
a b a b (2) 正确;a ? b ? ( ) ? ( ) , 所以 a ? b 是 ( ) ? ( ) 的既不充分也不必要条件,

3 4

3 4

3 4

3 4

(3)错误.选 B. 【考点】命题真假判定 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法. 1.定义法:直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假.并注意和图示相结合,例如 “p? q”为真,则 p 是 q 的充分条件. 2.等价法:利用 p? q 与非 q? 非 p,q? p 与非 p? 非 q,p?q 与非 q?非 p 的等价关 系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. 3.集合法:若 A? B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的 充要条件. 3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是下列哪个式子的值( )

第 1 页 共 17 页

A. S ? 1 ? B. S C. S D. S

1 1 1 ? ?? ? 2 3 10 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? 2 4 6 20 1 1 1 ? 1? ? ?? ? 2 3 11 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? 2 4 6 22 1 , n ? 4 ,k ? 2 ;第二次循环: 2

【答案】B 【解析】试题分析:第一次循环: S?

S?

1 1 ? , n ? 6, k ? 3 ; 依 次 类 推 第 十 次 循 环 : 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 S ? ? ? ? ? ? , n ? 22, k ? 11,结束循环,输出 S ? ? ? ? ? ? ,选 2 4 6 20 2 4 6 20

B. 【考点】循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流 程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环 次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求 项. 4. 若 {an } 是由正数组成的等比数列, 其前 n 项和为 Sn , 已知 a2 a4 ? 1 且 S3 ? 7 , 则 S5 ? ( A. )

17 2


B.

33 4


C.

31 4


D.

15 2
析 :
2 a2a4 ? 1 ? a3 ? 1, a3 ? 0 ? a3 ? 1

【答案】C 【 析 试 分 ,

S3 ? 7 ?
S5 ?

a3 a3 1 1 1 ? ? a3 ? 7 ? 2 ? ? 6 ? 0, q ? 0 ? q ? 2 q q q q 2
S3 ?
2







1 a 7 q 3 ? 2

3

1 3 ?a C. q ? ,选 4 4

1

?

?

第 2 页 共 17 页

【考点】等比数列求和

? 2x ? y ? 0 ? 5. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 若z ?3 则实数 k ? x ?y 的最小值为 4, ?y ? x ? k ? 0 ?
( A.2 ) B.1 C.

12 5

D.

4 5

【答案】C 【解析】试题分析:可行域三直线三交点为 A(0, 0), B ( , ), C ( ,

k k k 2k ) ,因此直线 2 2 3 3 k 2k 12 ?k ? ,选 C. z ? 3x ? y 过点 C 时取最小值,即 4 ? 3 ? ? 3 3 5

【考点】线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是: 一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的 直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行 域的端点或边界上取得. 6.函数 f ( x) ? 3 x ? 2 ln

|x| 的图象可能是( 2



【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 :

4 4 ?0? x? , 所 以 x 3 4 4 4 x ? 时, f ?( x) ? 0, 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0, 又 x ? 0时, f ?( x) ? 3 ? ? 0, 因此选 B. 3 3 x x ? 0时, f ?( x) ? 3 ?

【考点】利用导数研究函数单调性 【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义 及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合 图象研究. 7.牡丹花会期间,5 名志愿者被分配到我市 3 个博物馆为外地游客提供服务,其中甲 博物馆分配 1 人,另两个博物馆各分配 2 人,则不同的分配方法共有( ) A.15 种 B.30 种 C.90 种 D.180 种 【答案】B
1 2 【解析】试题分析:不同的分配方法共有 C5 C4 ? 30 ,选 B.

【考点】排列组合 【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法: (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”; (2)元素相间的排列问题——“插空法”; (3) 第 3 页 共 17 页

元素有顺序限制的排列问题——“除序法” ;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至 少”的排列组合问题——间接法. 8.已知 A, B 为抛物线 y 2 ? 4 x 上异于原点的两个点, O 为坐标原点,直线 AB 斜率为 2,则 ?ABO 重心的纵坐标为( A.2 【答案】C 【解析】试题分析:设 A( B. )

4 3

C.

2 3

D.1

y ?y y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ) ,则 21 2 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? 2 ,因此 y1 y 4 4 ? 2 4 4

?ABO 重心的纵坐标为

y1 ? y2 ? 0 2 ? ,选 C. 3 3

【考点】直线与抛物线位置关系 9 .已知函数 f ( x) ? A cos( ? x ? ? )(? ? 0)的部分图象如图所示,下面结论错误的是 ( )

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为

2? 3

B.函数 f ( x ) 的图象可由 g ( x) ? A cos(? x) 的图象向右平移 C.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? D.函数 f ( x ) 在区间 (

?
12

? 个单位得到 12

对称

? ? , ) 上单调递增 4 2

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 :

A cos( Ac f(

7? 5? ? ?) ? 0 ? ? ? ? ? k? ( k ? Z ) 4 4 3? 2 ?? o ? s? 2 3 x) ?

T 11? 7? 2? ? ? ?T ? ,? ? 3 2 12 12 3


; 又

?
(

?

k ( 3

?

?

5 4

?,?
)

即)

?

k

??

4

? ? ? 个单位得到 A cos(3( x ? )) ? A cos(3x ? ) ; 12 12 4 ? ? x? 时 f ( x) ? A , 因 此 函 数 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 对 称 ; 12 12
g ( x) ? A cos(? x) 的图象向右平移
第 4 页 共 17 页

4

Ac

o

x

s

? ? ? ? 5? x ? ( , ) ? 3 x ? ? ( , ) ,函数 f ( x) 有增有减,D 不对,选 D. 4 2 4 2 4
【考点】三角函数性质 【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移” 也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字 母 x 而言. 函数 y=Asin(ω x+φ ), x∈R 是奇函数?φ =kπ (k∈Z); 函数 y=Asin(ω x +φ ),x∈R 是偶函数?φ =kπ + (k∈Z);函数 y=Acos(ω x+φ ),x∈R 是奇函数 ?φ =kπ + (k∈Z);函数 y=Acos(ω x+φ ),x∈R 是偶函数?φ =kπ (k∈Z); 10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.2

B.6

C.

4 3

D.

8 3

【答案】A 【解析】试题分析:几何体一个四棱锥去掉一个三棱锥,四棱锥与三棱锥的高皆为 2, 四棱锥的底面四边形与三棱锥的底面三角形合成一个边长为 2 的正方形, 三棱锥的底面 三角形为一个直角三角形,直角边长为 2 和 1,因此几何体的体积是

1 1 ? 2(22 ? ? 2 ?1) ? 2 ,选 A. 3 2
【考点】三视图 【名师点睛】 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图. 2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形 状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.

x2 y 2 11.已知点 P 在双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上, F1 , F2 分别为双曲线的 a b
2 左、右焦点,若 PF1 ? PF2 ? 12a ,则该双曲线的离心率的取值范围是(

???? 2

???? ?2



A. [3, ??) 【答案】D 【 解 析 】

B. (2, 4]

C. (2,3]

D. (1,3]















???? ???? ? | PF1 | ? | PF2 |? 2a





以 以

? ? ? ? ? ? ? ? ? | P 1F ?| |P 6a1 ? , P| F 2 ?F |
2a ? a? c1 ?

? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? , |2 ? a4 又 P , |F | PF2 |? |a a? c 2 , 所

?e 3 ,选 D. ? 【考点】双曲线定义及离心率 【方法点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b,c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a, b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
第 5 页 共 17 页

12 . 已 知 f ' ( x) 为 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 , 且 f ( x) ?

1 2 x ? f (0) x ? f ' (1)e x ?1 , 若 2

g ( x) ? f ( x)?
( )

x2 1 2 x ? ,则方程 x g ( ? x) ? x ? 0 有且仅有一个根时 a 的取值范围是 2 a
B. (??,1] D. [1, ??)

A. (??, 0) ? {1} 【答案】A 【 解

C. (0,1]











析 , , 因 从

: 此 而

f ?( x) ? x ? f (0) ? f ' (1)ex?1 ? f ?(1) ? 1 ? f (0) ? f ' (1) ? f (0) ? 1 f(
g(

?0

'

) f

?

1

? e(

1 ? f ( x( ) ? 1x 2 ?)x ? e x 1? ) ' f, ?g 1( x)e 2

x2 x2 x2 2x 1 ?1? , ? x) ? x ? 0 ? ? x ? ln x , ? x ? ln x , 令y? 则 y? ? 当a ? 0 a x a a a

时, y? ? 0 ,又 x ? 0, y ? ?? ,此时方程

x2 x2 ? x ? ln x ? 0 ,即 g ( ? x) ? x ? 0 有 a a

且仅有一个根;当 a ? 0 时, y? ?

2x 1 a ? a 2 ? 8a ,负舍,因此 ?1 ? ? 0 ? x ? a x 4

y?

x2 x2 x2 ? x ? ln x 先减后增, ? x ? ln x ? 0 , 要使方程 即 g ( ?x) ?x ? 0 有且仅有 a a a

一个根, 须x?

a ? a 2 ? 8a x ?1 ? x ?l n x? x? 1 ? a ? 1 , 时 y ? 0, 即0 ? 因此 a 2 4

的取值范围是 (??, 0) ? {1} ,选 A. 【考点】函数零点 【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.

二、填空题 13.采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率:由计算机产生 随机数 0 或 1,其中 1 表示正面朝上,0 表示反面朝上,每三个随机数作为一组,代表 抛掷三次的结果,已知随机模拟实验产生了如下 20 组随机数: 101 111 010 101 100 001 101 111 110 000 011 001 010 100 000 101 101 010 011 001 由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是 . 【答案】0.4 【解析】试题分析:恰有两次正面朝上的基本事件数为 8,因此概率是 第 6 页 共 17 页

8 =0.4 20

【考点】古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法: 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与 “无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象 的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 14.已知 a ? (cos 【答案】 3 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 , 意 所 得 以

?

?

? ? ? ? 5? 5? ,sin ) , b ? (cos ,sin ) ,则 | a ? b |? 6 6 6 6

.

? ? ? ? 5? ? 5? ? 2? 1 |a| ? 1, |b| ? 1, a ? b= cos cos + sin sin = cos ?? 6 6 6 6 3 2

? ? 1 | a ? b |? 1 ? 1 ? 2 ? (? ) ? 3 2
【考点】向量的模 15.已知函数 f ( x) ? ? 【答案】-15 【解析】试题分析: f ( g (?1)) ? f (? f (1)) ? f (?3) ? ? f (3) ? ?15. 【考点】分段函数求值 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数 解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上 .解决此类 问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数结合点处函数 值. 16 . 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? g ( x), x ? 0

是奇函数,则 f ( g (?1)) ?

.

nan 1 , an?1 ? (n ? N * ) , 若 不 等 式 2 (n ? 1)(nan ? 1)
.

4 1 ? ? tan ? 0 恒成立,则实数 t 的取值范围是 n2 n
【答案】 [?9, ??) 【 解 析 】 试 题







an?1 ?

nan 1 1 1 1 1 ? ? ?1? = +(n ? 1) ? n ? 1 ? an ? (n ? 1)(nan ? 1) (n ? 1)an?1 nan nan a1 n(n ? 1)
4 1 ? ? tan ? 0 ? t ? ? 2 n n ?n n? n ( 4 ) (









?

( ?n n? 4 ) ? ?(n ? ? n n

??

( 5n ?

n

?

1 ) 4 ? ) ? ,当且仅当 ( n ? 2 时取等号,所以 2

5

)

4

t ? ?9
第 7 页 共 17 页

【考点】数列通项,基本不等式求最值 【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满 足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定 值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 三、解答题 17. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 S?ABC ? 3 ,0 ? AB ? AC ? 6 ,
2 函数 f (? ) ? 2sin (

??? ? ??? ?

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? .

(1)求角 A 的取值范围; (2)求 f ( A) 的值域. 【答案】 (1) A ? [

, ] (2) f ( A) ? [2,3] 4 2 【解析】试题分析: (1)先由向量数量积得 0 ? bc cos A ? 6 ,再由三角形面积公式得 1 ? ? bc sin A ? 3 ,因此 tan A ? 1 ,或 cos A ?0 ,根据三角形内角范围得 A ? [ , ] (2) 2 4 2
先根据二倍角公式、诱导公式、配角公式将函数化为基本三角函数

? ?

? ? ? ? ? 2? y ? 1 ? 2sin(2 A ? ) , ], 再根据 A ? [ , ] 得 2 A ? ? [ , 结合正弦函数性质得 3 4 2 3 6 3 ? 1 sin(2 A ? ) ? [ ,1] ,即得 f ( A) ? [2,3] 3 2 1 试题解析: (1)∵ S?ABC ? 3 , bc sin A ? 3 . ① 2 ??? ? ??? ? ∵ 0 ? AB ? AC ? 6 ,∴ 0 ? bc cos A ? 6 ,②
由①②可得: 0 ?

cos A ? ? ? 1 ,即 tan A ? 1 ,∴ A ? [ , ] . sin A 4 2

2 (2) f ( A) ? 2sin (

?

? A) ? 3 cos 2 A ? 1 ? cos( ? 2 A) ? 3 cos 2 A 4 2

?

? 1 ? sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 1 ? 2sin(2 A ? ) . 3 ? ? ? ? 2? ]. ∵ A ? [ , ] ,∴ 2 A ? ? [ , 4 2 3 6 3 ? 1 ∴ sin(2 A ? ) ? [ ,1] ,∴ f ( A) ? [2,3] . 3 2
【考点】向量数量积,三角形面积公式,二倍角公式、诱导公式、配角公式 【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量 与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进 行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,都会出现交汇问题中的难点,对 于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关知识进行求解. 18.今年春节期间,在为期 5 天的某民俗庙会上,某摊点销售一种儿童玩具的情况如下 表: 日期 天气 销 上午 2 月 13 日 小雨 42 2 月 14 日 小雨 47 2 月 15 日 阴 58 2 月 16 日 阴转多云 60 2 月 17 日 多云转阴 63

?

第 8 页 共 17 页

售 量

下午

55

56

62

65

67

由表可知:两个雨天的平均销售量为 100 件/天,三个非雨天的平均销售量为 125 件/ 天. (1)以十位数字为茎,个位数字为叶,画出表中 10 个销售数据的茎叶图,并求出这组 数据的中位数; (2)假如明天庙会 5 天中每天下雨的概率为

2 ,且每天下雨与否相互独立,其他条件 5

不变,试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数; (3)已知摊位租金为 1000 元/个,该种玩具进货价为 9 元/件,售价为 13 元/件,未售 出玩具可按进货价退回厂家,若所获利润大于 1200 元的概率超过 0.6,则称为“值得 投资” ,那么在(2)的条件下,你认为“值得投资”吗? 【答案】 (1) 59 (2) 575 (3)值得投资

58 ? 60 ? 59 (2)五次 2 2 2 独立重复试验,为二项分布,即 X ~ B(5, ) ,因此 E ( X ) ? 5 ? ? 2 即 2 天下雨,3 5 5 天不下雨,从而能够售出的同种儿童玩具的件数为 100 ? 2 ? 125 ? 3 ? 575 (3)设明年 庙 会 期 间 下 雨 天 数 为 X , 则 庙 会 期 间 该 摊 位 获 得 的 利 润
【解析】试题分析: (1)按茎叶图画法列表,按中位数求法得 由所获利润大于 1200 元得 L ? [100 X ? 125(5 ? X )] ? (13 ? 9) ? 1000 ? 1500 ? 100 X ,

X ?3
P( ? X












0 5




0



1200











0 ?) P

(? X

? 1 )P

2 ? X( 5

4 5 ? 2C )5 5

2 4 1 ( ? 1 )C 5 ( 4 5 5

2 ) ?2 5

4 C( 5

2

)

23 1 3 (? ) 3 1 2

5

,故可认为“值得投资”. 试题解析: (1)由已知得如下茎叶图,中位数为

58 ? 60 ? 59 . 2

(2)设明年庙会期间下雨天数为 X ,则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,且 X ~

2 B(5, ) , 5
∴ E( X ) ? 5 ?

2 ?2, 5

所以估计明年庙会期间,可能有 2 天下雨,3 天不下雨, 据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为 100 ? 2 ? 125 ? 3 ? 575 . (3)设庙会期间该摊位获得的利润为 L ,则

L ? [100 X ? 125(5 ? X )] ? (13 ? 9) ? 1000 ? 1500 ? 100 X ,
所以由 1500 ? 100 X ? 1200 ,得 X ? 3 . 又 X ? N ,所以 X ? 0,1, 2 ,而
*

第 9 页 共 17 页

2 4 2 4 2133 1 2 1 4 4 P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? C50 ( ) 0 ( )5 ? C5 ( ) ( ) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? ? 0.6 5 5 5 5 5 5 3125
故可认为“值得投资”. 【考点】茎叶图,中位数,二项分布及其应用 BC ? CD ,AB ? BC ? 2 , CD ? SD ? 1, 19. 如图, 四棱锥 S ? ABCD 中,AB / / CD , 侧面 SAB 为等边三角形.

(1)证明: AB ? SD ; (2)求二面角 A ? SB ? C 的正弦值. 【答案】 (1)详见解析(2)

2 7 7

【解析】试题分析: (1)证明线线垂直,一般利用线面垂直性质定理,而线面垂直的证 明又往往利用线面垂直的判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的证明与 寻找,往往从两个方面,一是利用线面垂直性质定理转化为线线垂直,另一是结合平几 条件,如本题利用等边三角形底边中线性质得取 AB 的中点 E , AB ? SE ,及矩形性 质得 BE ? DE ? AB ? DE (2)利用空间向量求二面角,首先利用垂直关系建立恰 当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解两个平面的法向量,利用向量数量 积求夹角,最后根据向量夹角与二面角之间关系得结果 试题解析: (1)取 AB 的中点 E ,连接 DE ,则四边形 BCDE 为矩形, ∴ BE ? DE , ∵ ?SAB 为等边三角形,∴ AB ? SE . ∵ SE ? DE ? E ,∴ AB ? 平面 SED , SD ? 平面 SED , AB ? SD . (2)由(1)知, DE ? DC ,过 D 作 DF ? 平面 ABCD ,则 DE, DC, DF 两两垂直, 分别以 DE, DC, DF 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

??? ? ???? ????

则 D(0,0,0), A(2, ?1,0), B(2,1,0), C(0,1,0) , 第 10 页 共 17 页

∵ SD ? 1, DE ? 2, SE ? 3 , ∴ SD ? SE ,∴ SD ? 平面 SAB , ∴ S ( , 0,

1 2

??? ? 1 3 3 ) , DS ? ( , 0, ) . 2 2 2

设平面 SBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) .

?

??? ? 1 3 ) , BC ? (?2,0,0) , 2 2 ? ??? ? ? n ? SC ? ?2 x ? 0 ? x?0 ? ? ∴ ? ? ??? ,∴ ? ? 3 . 1 3 y ? z n ? BC ? ? x ? y ? z ? 0 ? ? ? 2 ? 2 2
∵ SC ? (? ,1, ? 取 z ? 1 ,则 n ? (0,

??? ?

?

3 ,1) , 2

3 ??? ? ? DS ? n 21 ? ? |? 2 ? 设二面角 A ? SB ? C 为 ? ,则 | cos ? |?| ??? , 7 | DS || n | 7 2
∴ sin ? ?

2 7 . 7

【考点】线面垂直性质与判定定理,利用空间向量求二面角 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 20.已知 A(?2, 0), B(2, 0) ,动点 M 满足 ?AMB ? 2? , | AM | ? | BM |? (1)求 | AM | ? | BM | 的值,并写出 M 的轨迹曲线 C 的方程; ( 2 ) 动 直 线 l : y ? kx? m与 曲 线 C 交 于 P, Q 两 点 , 且 OP ? OQ, 是 否 存 在 圆

???? ?

???? ?

4 . cos 2 ?

???? ?

???? ?

x2 ? y 2 ? r 2 使得 l 恰好是该圆的切线,若存在,求出 r ;若不存在,说明理由.
【答案】 (1) | AM | ? | BM |? 4 2 , C : 【 解 析 】 试 题 分 析

???? ?

???? ?

x2 y 2 8 ? ? 1 (2)存在圆 x 2 ? y 2 ? 3 8 4
1 ) 由 余 弦 定 理 得

: (

|

? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 形 o 得 s 2 A2 ? B A |M ? | B |M ? | A| ? M ? 2 , |B 结 M合 | 条 | 件 变 | c B? |M ? | ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? | ( 1 ?A c2 M o s ? 2 B )M ? ( ? |
2

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 2 42 ? A ( | M? | B | ? M | ?) A 2 M? |

A

第 11 页 共 17 页

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? (| AM | ? | BM |)2 ?16 ,解得 | AM | ? | BM |? 4 2 ,符号椭圆定义,所以 M 的轨
x2 y 2 ? ?1 迹是椭圆, 且 a ? 2 2, c ? 2 , 可得 C : (2) 由O P ? O Q 8 4
得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

再根据直线方程与椭圆方程联立方程组,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,利 用 韦 达 定 理 代 入 并 化 简 得 8k 2 +8 ? 3m2 , 又 l 与 圆 x2 ? y 2 ? r 2相 切 , 所 以

r2 ?

|m 2 | 8 8 ? ,因此存在圆 x 2 ? y 2 ? 符合题意. 2 3 1? k 3

试题解析: (1)设 | AM |? m , | BM |? n , ∵ | AB |? 4 且 | AM | ? | BM |? 在

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

4 2 ,∴ mn cos ? ? 4 , cos 2 ?
, 由 余 弦 定 理 得

?ABM



m2 ?

4 n2 ?

2 2 2? ? ?m c (2cos n o 2 2 ? ? 2mn , 2mn ? ?1) s ? 4mn cos

∵ m2 ? n2 ? 2mn ? 4mn cos2 ? ? 16 ? 32 , ∴ m ? n ? 4 2 ,即 | AM | ? | BM |? 4 2 , 又 | AM | ? | BM |?| AB | ,所以 M 的轨迹是椭圆,
2 且 a ? 2 2, c ? 2 ,∴ b ? 4 ,

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

∴C :

x2 y 2 ? ?1. 8 4

x2 y 2 ? ?1得 (2)设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,将 l : y ? kx ? m 代入 C : 8 4

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 ∵ ? ? 0 ,∴ 8k ? m ? 4 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 8 4km x x ? , , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 m2 ? 8k 2 . 1 ? 2k 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, ∵ OP ? OQ ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
∴k ?
2

3m2 ? 8 , 8

第 12 页 共 17 页

3m2 ? 8 8 ? 0 和 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,得 m 2 ? 即可, 由 3 8
因为 l 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 相切,∴ r ?
2
2 2 存在圆 x ? y ?

| m |2 8 ? , 1? k 2 3

8 符合题意. 3

【考点】椭圆定义,直线与椭圆位置关系,直线与圆相切 【思路点睛】 定点、 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点” 是什么、 “定 值”是多少, 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题, 证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应 设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 21.已知函数 f ( x) ? ekx ? 2 x(k ? R, k ? 0) . (1)若对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 1 ,求 k 的值; (2)对于函数 f ( x ) 的单调递增区间内的任意实数 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,证明:

f ( x3 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ? f ' ( x2 ) ? x2 ? x1 x3 ? x2
【答案】 (1) k ? 2 (2)详见解析 【解析】 试题分析: ( 1) 不等式恒成立问题, 一般转化为对应函数最值问题:f ( x)min ? 1,
' kx ' 先求函数导数 f ( x) ? ke ? 2 , 再讨论: 当 k ? 0 时, f ( x) ? 0 , 有 f( 1 ) ?( f 0 ) 1? 不

合题意. 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, 以 f ( x) min ? f ( ln ) ?

1 2 1 2 ln ) 上单调递减, ( ln , ?? ) 上单调递增.所 k k k k

2 2 2 ? ln ? 1 , 以下转化研究函数 g ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) 单 k k k 2 调性: 在 (0,1) 上单调递增, 在 (1, ??) 上单调递减, 得 g ( x) ? g (1) ? 1 , 所以 ? 1, k ? 2 k
( 2 ) 证 明 不 等 式 , 关 键 在 于 构 造 函 数 :

1 k

2 k

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? ? kekx2 ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

? ek ( x1 ?x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0 ,因此构造函数 h( x) ? ex ? x ?1( x ? 0) ,易得 h( x) 在
(??, 0) 上单调递减,即 h( x) ? h(0) ? 0 ,同理可证 f ' ( x2 ) ?
试题解析: (1) f ( x ) 的定义域为 R , f ( x) ? ke ? 2 ,
' kx ' 当 k ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 R 上单调递减,

f ( x3 ) ? f ( x2 ) x3 ? x2

当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 1 ,不合题意. 第 13 页 共 17 页

当 k ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ∴ f ( x ) 在 ( ??,

1 2 ln , k k

1 2 ln ) 上单调递减, k k 1 2 1 2 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln ,∴ f ( x ) 在 ( ln , ?? ) 上单调递增. k k k k 1 2 2 2 2 ∴ f ( x) min ? f ( ln ) ? ? ln , k k k k k 2 2 2 只需 ? ln ? 1 成立. k k k
令 g ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ,则 g ' ( x) ? 1 ? ln x ?1 ? ? ln x , ∴ g ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时, g ( x) 取得最大值 1, 所以

2 ? 1, k ? 2 . k

(2)先证明

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) , x2 ? x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? ? kekx2 ? 2 , x2 ? x1 x2 ? x1

由(1)知,

∵ x2 ? x1 ? 0 , ∴

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (kekx2 ? 2)( x2 ? x1 ) x2 ? x1

? ekx2 ? ekx1 ? k ( x2 ? x1 )ekx2 ? 1 ? ek ( x1 ?x2 ) ? k ( x2 ? x1 ) . ? ek ( x1 ?x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0 .
由(1)知, k ? 0 , k ( x1 ? x2 ) ? 0 . 令 x ? k ( x1 ? x2 ) , h( x) ? e ? x ?1( x ? 0) ,
x

则 h ( x) ? e ?1 ? 0 , h( x) ? e ? x ? 1 在 (??, 0) 上单调递减,
' x x

所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,即

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) . x2 ? x1

同理可证: f ' ( x2 ) ?

f ( x3 ) ? f ( x2 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴ . ? f ' ( x2 ) ? x3 ? x2 x2 ? x1 x3 ? x2

【考点】利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数证明不等式 【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来, 使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转 第 14 页 共 17 页

化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是 万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分 离参数法. 22.选修 4-1:几何证明选讲 CD 为圆 O 上两点, 如图,AB 与圆 O 相切于点 B , 延长 AD 交圆 O 于点 E ,BF / / CD 且交 ED 于点 F .

(1)证明: ?BCE ∽ ?FDB ; (2)若 BE 为圆 O 的直径, ?EBF ? ?CBD , BF ? 2 ,求 AD ? ED . 【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】试题分析: (1)证明三角形相似,一般从角相等出发:由同弧所对角相等得 ?BCE ? ?BDF , ?EBC ? ?EDC , 又 BF / / CD , 所 以 ?E D C ? ? B F D ,即
2 ?E B C ? ? B F D (2)由射影定理得 AD ? ED ? BD ,因此转化为求 BD ,在等腰直

角 ?FDB 中易得 BD ?

2 BF ? 2 2

试题解析: (1)因为 BF / / CD ,所以 ?EDC ? ?BFD , 又 ?EBC ? ?EDC ,所以 ?EBC ? ?BFD , 又 ?BCE ? ?BDF ,所以 ?BCE ∽ ?FDB . (2)因为 ?EBF ? ?CBD ,所以 ?EBC ? ?FBD , 由(1)得 ?EBC ? ?BFD ,所以 ?FBD ? ?BFD , 又因为 BE 为圆 O 的直径, 所以 ?FDB 为等腰直角三角形, BD ?

2 BF ? 2 , 2

2 因为 AB 与圆 O 相切于点 B ,所以 EB ? AB ,即 AD ? ED ? BD ? 2 .

【考点】三角形相似,射影定理 【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个 三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积 式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握. 2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、 圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角

第 15 页 共 17 页

坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 1? t ( t 为参数). y ? 2 ? 3 t ? ?

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

? x' ? x ? ' ' (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 得到曲线 C ,设 M ( x, y) 为曲线 C 上任一点, ' ?y ? y ? 2
求 x2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应点 M 的坐标. 【答案】 (1) 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 ,x2 ? y 2 ? 4(2) 当M( 1 ,

3 3 ) 或 M (?1, ? ) 时, 2 2

x2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1.
【解析】试题分析: (1)由 ? 2 ? x2 ? y2 将极坐标方程化为直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 4 , 利用代入消元法将直线参数方程化为普通方程 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0(2)根据伸缩变换 得 C ' 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1.利用椭圆参数方程求最值:设 M (2cos ? ,sin ? ) , 4

2 2 则利用三角变换得 x ? 3 xy ? 2 y ? 2 cos(2? ?

?
3

) ? 3 ,结合余弦函数性质得函数最

值 试题解析: (1)由 x ? 1 ? t ,得 t ? x ? 1 ,代入 y ? 2 ? 3t , 得直线的普通方程 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 . 由 ? ? 2 ,得 ? ? 4 ,∴ x ? y ? 4 .
2 2 2

? x' ? x x2 ? ' ? y 2 ? 1. C (2)∵ ? ,∴ 的直角坐标方程为 1 ' 4 ?y ? y ? 2
∴设 M (2cos ? ,sin ? ) ,则 x ? 2 cos ? , y ? sin ? .
2 2 2 2 ∴ x ? 3xy ? 2 y ? 4 cos ? ? 2 3 sin ? cos ? ? 2sin ? ? 2 cos(2? ?

?
3

)?3

? x ?1 ? x ? ?1 ? ? ∴当 cos(2? ? ) ? ?1 ,即 ? 或? 3 3 时,上式取最小值 1. 3 y ? y ? ? ? ? ? 2 ? 2

?

即当 M (1,

3 3 ) 或 M (?1, ? ) 时, x2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1. 2 2

【考点】极坐标方程化为直角坐标方程,直线参数方程化为普通方程,利用椭圆参数方 程求最值 第 16 页 共 17 页

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 3 | , g ( x) ?| x ? 1| ?2 . (1)解不等式 | g ( x) |? 5 ; (2)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范 围. 【答案】 (1) (?2, 4) (2) a ? ?1 或 a ? ?5 . 【解析】试题分析: (1)利用绝对值定义,将不等式转化为三个不等式组,求它们的并 集得解集 . ( 2 )方程恒成立问题,一般转化为对应函数值域问题:原命题等价于

{ y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 得
f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 3|?| (2 x ? a) ? (2 x ? 3) |?| a ? 3| ,而 g (x) ? | x ?1| ? 2 ?2 ,因
此根据集合包含关系得 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 试题解析: (1)由 || x ?1| ?2 |? 5 ,得 ?5 ?| x ? 1| ?2 ? 5 , ∴ ?7 ?| x ? 1|? 3 ,解得 ?2 ? x ? 4 . ∴不等式的解集为 (?2, 4) . (2)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 3|?| (2 x ? a) ? (2 x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 . 【考点】绝对值定义,绝对值三角不等式 【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是 利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将 绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化 化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.

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