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二〇一四高二数学必修5解三角形单元测试题及解析


二〇一四高二数学必修 5 解三角形单元测试题及解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析 答案 B.直角三角形 D.非钝角三角形 )

52+62-82 3

最大边 AC 所对角为 B,则 cosB= =- <0,∴B 为钝角. 2×5×6 20 C )

2.在△ABC 中,已知 a=1,b= 3,A=30°,B 为锐角,那么 A,B,C 的大小关系为( A.A>B>C C.C>B>A 解析 B.B>A>C D.C>A>B

由正弦定理 = ,∴sinB= sinA sinB

a

b

bsinA 3 = . a 2

∵B 为锐角,∴B=60°,则 C=90°,故 C>B>A. 答案 C )

3.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等于( A.4 2 C.4 6 B.4 3 D. 32 3

解析

3 8× 2 asinB 8×sin60° 由 A+B+C=180°,可求得 A=45°,由正弦定理,得 b= = = = sinA sin45° 2 2

4 6. 答案 C → A.5 C.15 解析 在△ABC 中,由余弦定理得
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→ )

4.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则BA·BC的值为( B.-5 D.-15

AB2+BC2-AC2 25+49-64 1 cosB= = = . 2AB·BC 2×5×7 7
→ → → 1 ∴BA·BC=|BA|·|BC|cosB=5×7× =5. 7 答案 A ) →

5.若三角形三边长之比是 1: 3:2,则其所对角之比是( A.1:2:3 C.1: 2: 3 解析 =90°. 设最小角为 B,则 cosB= ∴B=30°,∴C=60°. 因此三角之比为 1:2:3. 答案 A B.1: 3:2 D. 2: 3:2

设三边长分别为 a, 3a,2a,设最大角为 A,则 cosA=

a2+

3a 2- a 2·a· 3a

2

=0,∴A

a

+ 3a 2-a2 3 = , 2 2·2a· 3a

2

6.在△ABC 中,若 a=6,b=9,A=45°,则此三角形有( A.无解 C.两解 B.一解 D.解的个数不确定

)

解析

由 = ,得 sinB= sinB sinA

b

a

bsinA = a

9× 6

2 2



3 4

2

>1.

∴此三角形无解. 答案 A

7.已知△ABC 的外接圆半径为 R,且 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sinB(其中 a,b 分别为 A,B 的对边),那么角 C 的大小为( A.30° C.60° 解析
2

) B.45° D.90°

根据正弦定理,原式可化为
2

c ? b ?a 2R? 2- 2?=( 2a-b)· , 2R ?4R 4R ?
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∴a -c =( 2a-b)b,∴a +b -c = 2ab,

2

2

2

2

2

a2+b2-c2 2 ∴cosC= = ,∴C=45°. 2ab 2
答案 B )

8. 在△ABC 中, 已知 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C, 且满足 ab=4, 则该三角形的面积为( A.1 C. 2 解析 由 = = =2R, sinA sinB sinC B.2 D. 3

a

b

c

又 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C, 可得 a2+b2-ab=c2. ∴cosC=

a2+b2-c2 1 3 = ,∴C=60°,sinC= . 2ab 2 2

1 ∴S△ABC= absinC= 3. 2 答案 D sinB 的值为( sinC )

9.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 A. C. 8 5 5 3 由余弦定理,得 B. D. 5 8 3 5

解析

AB2+AC2-BC2 cosA= ,解得 AC=3. 2AB·AC
sinB AC 3 由正弦定理 = = . sinC AB 5 答案 D )

10.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为(

A. C.

2π 3 3π 4

B. D.

5π 6 π 3

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解析 答案

AB +AC -BC 5 +3 -7 1 2π 由余弦定理,得 cos∠BAC= = =- ,∴∠BAC= . 2AB·AC 2×5×3 2 3

2

2

2

2

2

2

A
)

11.有一长为 1 km 的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要加长(

A.0.5 km C.1.5 km
解析

B.1 km D.
3 km 2

如图,AC=AB·sin20°=sin20°, AC =2cos210°, tan10°

BC=AB·cos20°=cos20°,DC=

∴DB=DC-BC=2cos210°-cos20°=1.

答案

B
)

12. 已知△ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 a=c= 6+ 2, 且 A=75°, 则 b 为(

A.2 C.4-2 3
解析

B.4+2 3 D. 6- 2

在△ABC 中, 由余弦定理, 得 a2=b2+c2-2bccosA, ∵a=c, ∴0=b2-2bccosA=b2-2b( 6 2? 3 1? 1 ? - ?= 2 ? 2 2? 4

+ 2)cos75°, 而 cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=

1 ( 6- 2),∴b2-2b( 6+ 2)cos75°=b2-2b( 6+ 2)· ( 6- 2)=b2-2b=0,解得 b=2, 4 或 b=0(舍去).故选 A. 答案

A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=4,则此三角形的最小边是____________. 解析 由 A+B+C=180°,得 B=75°,∴c 为最小边,由正弦定理,知 c= bsinC 4sin45° = = sinB sin75°

4( 3-1).
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答案

4( 3-1)

14.在△ABC 中,若 b=2a,B=A+60°,则 A=________. 解析 由 B=A+60°,得 1 2 3 cosA. 2

sinB=sin(A+60°)= sinA+
又由 b=2a,知 sinB=2sinA. 1 3 ∴2sinA= sinA+ cosA. 2 2 3 3 即 sinA= cosA. 2 2 ∵cosA≠0,∴tanA= 3 . 3

∵0°<A<180°,∴A=30°. 答案 30°

15.在△ABC 中,A+C=2B,BC=5,且△ABC 的面积为 10 3,则 B=________,AB=________. 解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180°,得 B=60°.

1 又 S= AB·BC·sinB, 2 ∴10 答案 1 3= AB×5×sin60°,∴AB=8. 2 60° 8

16.在△ABC 中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=8:9:10,则 sinA:sinB:sinC=________.

解析

?b+c=8k, 设?c+a=9k, ?a+b=10k,
11:9:7

可得 a:b:c=11:9:7.

∴sinA:sinB:sinC=11:9:7. 答案

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)在非等腰△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a2=b(b+c). (1)求证:A=2B; (2)若 a= 3b,试判断△ABC 的形状.
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解 =

a +c -b bc+c (1)证明: 在△ABC 中, ∵a =b·(b+c)=b +bc, 由余弦定理, 得 cosB= = 2ac 2ac
2 2

2

2

2

2

b+c a sinA = = , 2a 2b 2sinB ∴sinA=2sinBcosB=sin2B. 则 A=2B 或 A+2B=π . 若 A+2B=π ,又 A+B+C=π ,∴B=C.这与已知相矛盾,故 A=2B. (2)∵a= 3b,由 a2=b(b+c),得 3b2=b2+bc,∴c=2b. 又 a +b =4b =c . 故△ABC 为直角三角形. 18.(12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,角 A,B 满足 2sin(A
2 2 2 2

+B)- 3=0.求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ABC 的面积. 解 (1)由 2sin(A+B)- 3=0,得 sin(A+B)= 3 . 2

∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B=120°,∴∠C=60°. (2)∵a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两个根, ∴a+b=2 3,ab=2. ∴c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6. ∴c= 6. 1 1 3 3 S△ABC= absinC= ×2× = . 2 2 2 2

19.(12 分)如右图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75°,距离为 12 6 nmile,在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°,距离为 8 3 nmile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B
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在北偏东 120°,求: (1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离. 解 12 6× 3 2 (1)在△ABD 中,∠ADB=60°,B=45°,AB =12 2 2 6,由正弦定理,得 AD = ABsinB = sin∠ADB

=24(nmile).

(2)在△ADC 中,由余弦定理,得 CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos30°. 解得 CD=8 3(nmile). ∴A 处与 D 处的距离为 24 nmile,灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 nmile. 20.(12 分)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(sinB, sinA),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= 解 π ,求△ABC 的面积. 3

(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB.

由正弦定得知, sinA=

a b a b , sinB= (其中 R 为△ABC 外接圆的半径), 代入上式, 得 a· =b· , 2R 2R 2R 2R

∴a=b.故△ABC 为等腰三角形. (2)∵m⊥p,∴m·p=0,∴a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC 得 4=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0. 解得 ab=4,ab=-1(舍去). 1 1 π ∴△ABC 的面积 S= absinC= ×4×sin = 3. 2 2 3 21.(12 分)在△ABC 中,已知内角 A= π ,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长为 y. 3

(1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.
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(1)△ABC 的内角和 A+B+C=π ,由 A=

π 2π ,B>0,C>0,得 0<B< .应用正弦定理,得 3 3

AC=

BC 2 3 ·sinB= ·sinx=4sinx. sinA π
sin 3

AB=

BC ?2π ? -x?. sinC=4sin? sinA ? 3 ?

∵y=AB+BC+CA, 2π ? ?2π ? ? -x?+2 3?0<x< ?. ∴y=4sinx+4sin? 3 ? ? 3 ? ? (2)y=4(sinx+ =4 3sin(x+ ∵ 3 1 cosx+ sinx)+2 3 2 2

π )+2 3. 6

π π 5π <x+ < , 6 6 6

π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时,y 取得最大值 6 3. 6 2 3 22.(12 分)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= (1)求 A,C; (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. 解 即 (1)因为 tanC= sinA+sinB , cosA+cosB sinA+sinB ,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB

sinC sinA+sinB = , cosC cosA+cosB

所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π -(B-C)(不成立), 即 2C=A+B,得 C= π 2π ,所以 B+A= . 3 3

1 又因为 sin(B-A)=cosC= , 2

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π 5π 则 B-A= ,或 B-A= (舍去). 6 6 π 5π 得 A= ,B= . 4 12 π π 所以 A= ,C= . 4 3 1 6+ 2 (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3, 2 8 又 = ,即 = . sinA sinC 2 3 2 2

a

c

a

c

得 a=2 2,c=2 3.

======*以上是由明师教育编辑整理======

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