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高中数学人教A版选修2-3课时训练:2.2.3独立重复试验与二项分布


课时训练 10
一、选择题

独立重复试验与二项分布

1.某学生通过英语听力测试的概率为,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概率是 ( A. 答案:A 解析:记“恰有 1 次获得通过”为事件 A,则 P(A)=. 2.袋子里装有 5 张卡片,用 1,2,3,4,5 编号,从中抽取 3 次,每次抽出一张且抽后放回,

则 3 次中恰有 2 次抽得奇数编号的卡片的概率为( A.0.234 答案:B 解析:有放回地抽取,可看作独立重复试验,取得奇数编号的概率为 P=,3 次中恰有 2 次抽得奇数 编号的卡片的概率为=0.432. 3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3∶2,比赛时均能正常发挥技术水平, 则在 5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( A. C. 答案:A 解析:由题意知第 4 局甲胜,前 3 局中甲胜 2 局,故第 4 局甲才胜的概率为. 4.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率,则事 件 A 在一次试验中发生的概率的取值范围是( A.(0,0.4) 答案:C 解析:根据题意,p(1-p)3≤ p2(1-p)2,解得 p≥ 0.4.∵0<p<1,∴0.4≤ p<1. 5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每 局比赛获胜的概率均为,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( A. 答案:A 解析:当甲以 3∶1 的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四 局甲赢,所以甲以 3∶1 的比分获胜的概率为 P==3× ,故选 A. 6.若随机变量 ξ~B,则 P(ξ=k)最大时,k 的值为( A.5 B.1 或 2 C.2 或 3 ). D.3 或 4 B. C. D. ). B.(0,0.6] C.[0.4,1) ). D.[0.6,1) B. D. ). B.0.432 ). C.0.5 D.0.02 ). B. C. D.

答案:B 解析:依题意 P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,4,5. 可以求得 P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=. 故当 k=2 或 1 时 P(ξ=k)最大. 7.某射手有 5 发子弹,射击一次,命中的概率为 0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则 所用子弹数 X 的分布列为( A.
X P 1 0.9 2 0.09 3 0.009 4 0.000 9 5 0.000 1

).

B.
X P 1 0.9 2 0.009 3 0.09 4 0.000 9 5 0.000 1

C.
X P 1 0.9 2 0.09 3 0.009 4 0.000 1 5 0.000 9

D.
X P 1 0.09 2 0.9 3 0.009 4 0.000 9 5 0.000 1

答案:A 解析:X 的取值有 1,2,3,4,5. 当 X=1 时,即第一枪就命中,故 P(X=1)=0.9; 当 X=2 时,即第一枪未中,第二枪命中,故 P(X=2)=0.1× 0.9=0.09; 同理,P(X=3)=0.12× 0.9=0.009; P(X=4)=0.13× 0.9=0.000 9; P(X=5)=0.14=0.000 1. 则所用子弹数 X 的分布列为
X P 1 0.9 2 0.09 3 0.009 4 0.000 9 5 0.000 1

二、填空题

8.若血色素化验的准确率为 p,则在 10 次化验中,有两次不准的概率为 答案:45(1-p)2p8

.

解析:由题意知,血色素化验的准确率为 p,则不准确的概率为 1-p,由独立重复试验的概率公式得 (1-p)2p8=45(1-p)2p8. 9.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前 10 项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续 抽取 3 次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的 概率为 答案: 解析:由已知可求通项公式为 an=10-2n(n=1,2,3,…),其中 a1,a2,a3,a4 为正数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10 为负 数,故从中取一个数为正数的概率为,取得负数的概率为.三次取数相当于三次独立重复试验. 故取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为· · . 10.(2014 河北邢台一中高二月考)箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸 出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.现有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是 答案: 解析:由题意知,首先求出摸一次中奖的概率,从 6 个球中摸出 2 个,共有=15 种结果,两个球的号码 之积是 4 的倍数,共有(1,4),(3,4),(2,4),(2,6),(4,5),(4,6)6 种,故摸一次中奖的概率是.4 个人摸奖,相 当于发生 4 次试验,且每一次发生的概率是,故有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是. 三、解答题 11.某校的有关研究性学习小组进行一种验证性试验,已知该种试验每次成功的概率为. (1)求他们做了 5 次这种试验至少有 2 次成功的概率; (2)如果在若干次试验中,累计有两次成功就停止试验,求该小组做了 5 次试验就停止试验的概率. 解:(1)设 5 次试验中,只成功一次为事件 A,一次都不成功为事件 B,至少 2 次成功为事件 C, 则 P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B) =1-. 所以 5 次试验至少 2 次成功的概率为. (2)该小组做了 5 次试验,所以前 4 次有且只有一次成功,且第 5 次成功. 设该事件为 D,则 P(D)=. 所以做了 5 次试验就停止的概率为. 12.甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是,假设两人射击是否击中目标相互之间没有影 响,每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; . .(用数字作答)

(3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 5 次后被终止射击的概率是多少? 解:设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为 A,B”,则 P(A)=,P(B)=. (1)甲射击 4 次,全击中目标的概率为 P4(A)[1-P(A)]0=. 所以甲射击 4 次至少 1 次未击中目标的概率为 1-. (2)甲、乙各射击 4 次,甲恰好击中 2 次的概率为 P2(A)· [1-P(A)]2=6× . 乙恰好击中 3 次的概率为 P3(B)· [1-P(B)]1=. 故所求的概率为. (3)乙射击 5 次后,中止射击,第 3 次击中,第 4,5 次不中,而第 1,2 次至少 1 次击中目标, 所以终止的概率为. 13.(2014 河北邢台一中高二月考)“蛟龙号”从海底中带回了某种生物,甲、乙两个生物小组分别 独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概 率为,乙组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称 该次试验是失败的. (1)甲小组做了 3 次试验,求至少 2 次试验成功的概率; (2)如果乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第 4 次成功前共有 3 次失败,且恰有 2 次连续失 败的概率; (3)若甲、乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为 ξ,求 ξ 的分布列. 解:(1)甲小组做了 3 次实验,至少 2 次试验成功的概率 为 P(A)=. (2)根据乙小组在第 4 次成功前共有 3 次失败,可知乙小组在第 4 次成功前共进行了 6 次试 验,其中 3 次成功 3 次失败,且恰有 2 次连续失败,所以各种可能的情况数为=12 种.故所求的概率 为 P(B)=12× . (3)由题意 ξ 的取值为 0,1,2,3,4, P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=, P(ξ=4)=. 故 ξ 的分布列为

ξ P

0

1

2

3

4


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