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学生版 2013年全国高考理科数学试题分类汇编全(修改版)


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 专题一:集合--------------------------1 专题二:函数--------------------------5 专题三:三角函数---------------------11 专题四:数列-------------------------28 专题五:平面向量---------------------45 专题六:

不等式-----------------------48 专题七:立体几何---------------------52 专题八:直线和圆------------------- -89 专题九:圆锥曲线---------------------91 专题十:概率和统计 118 120

专题十一:程序框图--------------

专题十二:常用逻辑用语----------------- 139 专题十三:导数与积分-------------146 专题十四:复数---------------------148 专题十五: 坐标系与参数方程---------------------173

1

专题一:集合
一、选择题 错误!未指定书签。 1. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)已知全集 U

? ?1, 2,3, 4? ,

集合

A= ?1, 2? , B= ?2, 3? ,则 ? B? = ( U ?A
B. ?3, 4? C.

)

A. ?1 , 3, 4?

?3?

D.

?4?

错误!未指定书签。2. (2013 辽宁数学(理)试题)已知集合

A ? ?x | 0 ? log4 x ? 1?, B ? ?x | x ? 2?,则A B ?
A. ? 0, 1? B. ? 0, 2? C. ?1, 2 ? D. ?1 , 2?

3 错误!未指定书签。 . (2013 天津数学(理)试题)已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A ={x∈R| x≤1}, 则

A? B ? (A) (??, 2] (B) [1,2]

(C) [2,2]

(D) [-2,1] 果存在一个从 S 到 恒 ) 有

4 错误!未指定书签。 . (2013 福建数学(理)试题)设 S,T,是 R 的两个非空子集,如

T 的函数 y ? f ( x ) 满足: (i )T ? { f ( x) | x ? S };(ii ) 对 任意 x1 , x2 ? S , 当 x1 ? x2 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是(
A. A ? N , B ? N
*

B. A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? ?8或0 ? x ? 10} D. A ? Z , B ? Q
5 .( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) 设 常 数

C. A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R
错 误 ! 未 指 定 书 签 。

a?R , 集 合

A ? { x | (x ? 1 )x ? ( a? )
(A) ( ??, 2)

0B ? } , x { ? x ,若 |? a A? B 1? }R ,则 a 的取 值范围为(
(C) (2, ??) (D) [2, ??)

)

(B) (??, 2]

错误!未指定书签。

6 .( 2013 山 东 数 学 ( 理 ) 试 ) 已 知 集 合

A ={0,1,2}, 则 集 合

B ? ?x ? y x ? A, y ? A? 中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9

错误!未指定书签。 7. (2013 年高考陕西卷(理) )设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x2 的定义域为 M, 则 CR M

为 (A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) (??, ?1] ? [1, ??) (D) (??, ?1) ? (1, ??)
错误!未指定书签。 8. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)设集合

A ? ?1,2,3?, B ? ?4,5?, M ? ?x | x ? a ? b, a ? A, b ? B?, 则 M 中的元素个数为
(A)3 (B)4 (C)5
2

(D)6

9 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x

2

? 4 ? 0} ,

则A

B?(
(A) {?2}

) (B) {2} (C) {?2, 2} (D) ?

10 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1 (理) ) 已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? x | ? 5 ? x ?
2

?

?

?

5 ,

?



( ) A.A∩B=?

B.A∪B=R

C.B? A

D.A? B
卷 ( 理 )) 已 知 全 集 为

11 错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 年 高 考 湖 北

R , 集 合

x ? ? ? ?1? ? A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A CR B ? ( ? ?2? ? ? ?

)

A. ? x | x ? 0? C.

B. ?x | 2 ? x ? 4? D. ?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

12 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) )已知集合

M ? ? x | ( x ? 1) 2 ? 4, x ? R? , N ? ??1, 0,1, 2,3? ,则 M ? N ?
(A) ?0,1,2? (B) ?? 1,0,1,2? (C) ?? 1,0,2,3? (D) ?0,1,2,3?

13 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 W ORD 版) ) 设集合

M ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R? , N ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R? ,则 M
A .

N ?(

)

?0?

B.

?0, 2?

C.

??2,0?

D.

??2,0, 2?

14 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 集 合

S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0},则 (CR S ) ? T ?
A.

( ?2,1]

B. (??,?4]

C.

( ??,1]

D. [1,?? )

15 错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷) 设整数 n ? 4 , 集合

X ? ?1, 2, 3,

,n? .

令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立? , 若 ? x, y, z ? 和

? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( A . ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S
C.

) B. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S D.

? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S
B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}

? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S
( )

16 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (理) ) 已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤ x<1},则 A∩B=

A.{0}
二、填空题

17 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )集合 {?1,0,1}
3



有___________个子集.
18 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 对 正 整 数

n , 记

I m ? ?1, 2,3,

?m ? , n? , Pm ? ? m ? Im , k ? Im ? . ? k ?

(1)求集合 P7 中元素的个数 ;(2)若 Pm 的子集 A 中任意两个元素之和不是 整数的平方,则称 A 为“稀 .. 疏集”.求 n 的最大值,使 Pm 能分成两人上不相交的稀疏集的并.

专题二:函数
一、选择题 1 . (2013 年高考江西卷(理) )函数 y=

x ln(1-x)的定义域为
C.(0,1] D.[0,1]

A.(0,1)

B.[0,1)

2 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 a ? b ? c , 则 函 数

f ? x? ? ? x ? a ?? x ? b? ? ? x ? b?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间(
A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内

)

3 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()函数

f ( x) ? x 的大致图像是( )
y y

?

1 2

y

y

0

A

x

0

B

x

0 C

x

0 D

x

4 . (2013 年高考四川卷(理) )设函数

f ( x) ? ex ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x
) (D) [e -1, e ? 1]
?1

上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e] (B) [e ,-11] ,
?1

(C) [1, e ? 1]

5 . (2013 年高考新课标 1(理) )已知函数 f ( x) ?

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0 ?

A. (??, 0]

B. (??,1]

C. [ ?2,1]

D. [ ?2, 0]

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )函数

? 1? f ? x ? = log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ? 的反函数 ? x?

f ?1 ? x ? =
4

(A)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(B)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(C) 2x ? 1? x ? R ?

(D)

7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)已知 x, y 为正实数,则

A. 2 C. 2

lg x ? lg y

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

B. 2

lg( x ? y )

? 2lg x ? 2lg y

lg x ?lg y

D. 2

lg( xy )

? 2lg x ? 2lg y

8 . (2013 山东数学(理)试题)已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? x2 ?

1 ,则 f (?1) ? x

(A) ?2
2

(B)

0

(C) 1

(D) 2

错误!未指定书签。 9. (2013 年高考陕西卷(理) )在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于

300m 的内接矩形花

园(阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是

x

40m

40m

(A) [15,20] (B) [12,25]

(C) [10,30] (D) [20,30]

错误!未指定书签。10. (2013 重庆数学(理)试题) y ?

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的

最 大 值 为

(

) A.9 B.

9 2

C. 3

D.

3 2 2

错误!未指定书签。11. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)已知函数

f ? x?

的定义 域为 ? ?1,0? ,则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 (A) ? ?1,1? (B) ? ?1,

? ?

1? ? 2?

(C) ? -1, 0 ?

(D) ?

?1 ? ,1 ? ?2 ?

12 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )函数

f ? x ? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的
D.0 )

图像的交点个数为 A.3 B.2

C.1

x2 错误!未指定书签。13. (2013 年高考四川卷(理) )函数 y ? x 的图象大致是( 3 ?1

5

错误!未指定书签。14. (2013 辽宁数学(理)试题)已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A , H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则 A ? B ? (A) a ? 2a ? 16
2

(B) a ? 2a ? 16
2

(C) ?16

(D) 16

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 15 .( 2013 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ) 定 义 域 为

R 的四个函数

y ? x , y ? 2 , y ? x ? 1, y ? 2sin x 中,奇函数的个数是(
3 x

2

) D.1

A . 4

B. 3

C. 2

错误!未指定书签。16. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)若函数

f (x)=x3 +bx+c 有

极值点 (A)3

x1 , x 2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程 3(f (x1 ))2 +2f (x)+b=0 的不同实根个数是
(B)4 (C) 5 (D)6

错误!未指定书签。17. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1

的零点个 (A) 1

数为 (B) 2

(C) 3

(D) 4
x

错误! 未指定书签。 18. (2013 年高考北京卷 (理) ) 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得 图象与 y=e

关于 y 轴对称,则 f(x)= A. e
x ?1 x ?1 B. e

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

19 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()设 f ( x ) 为函数

-1

f ( x) ? x 的反函数,下列结

论正确的 是 ( (A) f (C)
?1

) (B) f (D) f
?1

(2) ? 2

(2) ? 4

f ?1 (4) ? 2

?1

(4) ? 4

20 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )若函数

f ? x ? =x2 ? ax ?

1 x

在?

?1 ? , +? ? 是增函数,则 a 的取值范围是 ?2 ?
6

(A)[-1,0]
二、填空题

(B) [?1, ??)

(C) [0,3]

(D) [3, ??)

21 错误! 未指定书签。 (2013 年上海市春季高考数学试卷() . 函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是_______________ 22 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )方程

3 1 ? ? 3x?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

23 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 ) ) 对 区 间 I 上 有 定 义 的 函 数 g ( x) , 记

g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x ? I } ,已知定义域 为 [0,3] 的 函 数 y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f ?1 ( x) , 且

f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
24 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )若函数 f ( x) = (1 ? x
2

)( x 2 ? ax ? b) 的 图像关于直线

x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值是______.
25 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))方程 2 ? 8 的解是_________________
x

26 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )设函数

f ( x) ? a x ? bx ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.

(1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, 且a=b? ,则 (a, b, c) ? M 所对应 的 f ( x) 的零点的取值集合为____. (2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0.
27 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )已知 f ( x ) 是 定 义 在

R 上的奇函数.当 x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为

___________.

28 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考上海卷 (理) )设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0

时, f ( x) ? 9 x ?
三、解答题

a2 ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ x

29 错误! 未指定书签。 ( .2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) 试题) 设函数

f ( x) ? ax ? (1 ? a2 ) x2 ,

7

其中 a ? 0 ,区间 I ?| x f (x)>0 (Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求 l 长度的最小值.
30 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小

题满分 7 分, 第 3 小题满分 6 分.

b) 成 中 心 对 称 图 形 ” 的 充 要 条 件 为 “ 函 数 已 知 真 命 题 :“ 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 点 P ( a、 y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数”.
(1)将函数 g ( x) ? x ? 3x 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像对应的函数解
3 2

析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; (2)求函数 h( x) ? log 2

2x 图像对称中心的坐标; 4? x

(3)已知命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b,使 得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题, 请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).

8

专题三:三角函数
一、选择题 错误!未指定书签。 1. ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

? ? R, sin ? ? 2 cos? ?
A.

10 , 则 tan 2? ? 2
B.

4 3

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

2 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理 ) )设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
错误!未指定书签。 3. ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 △ABC 中 ,

?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

(A)

10 10

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

4 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的

图象沿 x 轴

向左平移

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为 8
?
(C)0 (D)

(A)

3? 4

? (B) 4

? 4

错误!未指定书签。5. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)在 ?ABC ,内角 A, B, C 所

对的边长 A.

分别为 a , b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? B.

? 6

? 3

C.

2? 3

1 b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 5? D. 6

6 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)已知函数

f ? x ? = cos x sin 2x , 下列结论中错误的是
(A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? , 0 ? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ?
9

?
2

对称

(C) f ? x ? 的最大值为

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

错误!未指定书签。 7. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)函数 y ? x cos x ? sin x 的

图象大致



错误!未指定书签。 8. (2013 年高考四川卷(理) )函数 f ( x ) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0,?

?
2

?? ?

?
2

) 的部

分图象如图所示,则

?,? 的值分别是(

)

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

? ) 上单调递减的函数 错误!未指定书签。 9. (2013 年上海市春季高考数学试卷()既是偶函数又在区间 (0,
是( ) (A) y ? sin x (B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x
0 0

错误!未指定书签。 10 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题) 4cos 50 ? tan 40 ?

(

) A. 2 B.

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ? 1

11 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) ) 在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若

2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.

?
12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

错误!未指定书签。12. (2013 年高考湖北卷(理) )将函数 y
10

? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移

m ? m ? 0 ? 个长度单位 后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是(
A.

)

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6
0

二、填空题 13 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题) ?ABC 中, ?C ? 90 , M

是 BC

的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

错误!未指定书签。14. (2013 年高考新课标 1(理) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,

则 cos? ? ______
错误!未指定书签。15. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)如图 ?ABC 中,已知点 D

在 BC

边上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3

错误! 未指定书签。 16. (2013 年上海市春季高考数学试卷() 函数 y

? 2sin x 的最小正周期是_____________

错误!未指定书签。 17 . ( 2013 年高考四川卷(理) ) 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) , 则 tan 2? 的值是

_________.
错误!未指定书签。18. (2013 年高考上海卷(理) )若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 2 3

sin( x ? y ) ? ________
19 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若

3a 2 ? 2ab ? 3b2 ? 3c 2 ? 0 ,

则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)

20 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)已知 ? 是第三

象限

角, sin a ? ? ,则 cot a ? ____________.

1 3

21 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 ( 数 学 ) )函数

B、 C 所对边长分别为 a、、 22 错误! 未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷() 在 ?ABC 中,角 A、 b c,


y ? 3sin(2x ? ) 的最小正周期为___________. 4

?

a ? 5, b ? 8, B ? 60 ,则 b= _______

23 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所

对边

的长分别为 a , b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.

错误!未指定书签。24. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 Ⅱ卷数学(理) )设 ? 为第二象限角,若
11

? 1 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? ________. 4 2
错误!未指定书签。 25 . ( 2013 年高考江西卷(理) ) 函数
2 y ? sin 2x ? 2 3 sin x 的最小正周期为 T 为

_________.

x的 最 大 值 是 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 26 . ( 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 ( ) 函 数 y ? 4 sin x ? 3 cos
_______________
三、解答题 27 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.
1 2

错误!未指定书签。28. (2013 年高考陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函

b. 数 f ( x) ? a·

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
错误!未指定书签。29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)在

ABC 中,内角 A, B, C

的对边分

别是 a , b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(1)求 C ;

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 30 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f( x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

31 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 向 量

a?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

32.(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

错误! 未指定书签。33. (2013 年高考上海卷 (理) ) (6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ?

? 0;

12

, ] 上单调递增,求 ? 的取值范围; 4 3 ? (2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的 6
(1)若 y ? f ( x) 在 [? 图像,区间 [ a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条 件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 34 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)设 ?ABC 的内角 A, B, C (I)求 B (II)若 sin A sin C ? 的对边分别为 a , b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .

? 2?

3 ?1 ,求 C . 4

错误!未指定书签。 35 . ( 2013 年高考四川卷(理) ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

错误!未指定书签。36. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)设△ ABC 的内角 A, B, C

所对的边

分别为 a , b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

7 . 9

(Ⅰ)求 a, c 的值;

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 37 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 安 徽 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4? ?
(Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 38 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( , 0) ,将函数 f ( x) 图像 4
上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移 数 g ( x) 的图像. (1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式;

?

?

2

个单位长度后得到函

13

(2) 是否存在 x0 ? (

? ?

, ) , 使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列 ? 若存在 , 请确 6 4

定 x0 的个数;若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.

错误!未指定书签。39. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附 加题) )本小题满分

14 分.已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? .

(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
40 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ) 已 知 函 数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? , 2? ? ,求 ,? ? ? 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

41 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷 (理) ) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

41 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) ) 本小题满分 16 分.如图,

游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索 道乘缆车到 B , 然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲 . 乙两位游客从 A 处下山 , 甲沿 AC 匀速步行 , 速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀 速直线运动的速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cosC ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C
42 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已

知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .
14

(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.
43 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )△ ABC 在内角 A, B, C 的

对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.
44错误!未指定书签。 . (2013年高考新课标1(理) )如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC

内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

45 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小

题满分 9 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 x n ,且 { xn } 比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .
?

是首项为 1、公

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值. y A

0

P1 P2 P3

P4

x

46 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) ) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知

cosC+(conA-错误!未找到引用源。sinA)cosB=0. (1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围

15

专题四:数列
一、选择题 1 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )在数列 {an } 中, an

? 2n ?1 ,若一个 7 行 12 列的矩阵的

第 i 行第 j 列的元素 ai , j ? ai ? a j ? ai ? a j ,( i ? 1, 2, 的个数为( ) (A)18 (B)28

,7; j ? 1, 2,

,12 )则该矩阵元素能取到的不同数值

(C)48

(D)63

2 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校 对) )已

知数列 ?an ? 满足 3an?1 ? an ? 0, a2 ? ? (A) ?6 1 ? 3?10

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 3
(C) 3 1 ? 3?10

?

?

(B)

1 1 ? 3?10 ? ? 9

?

?

(D) 3 1+3?10

?

?

3 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面

积为 S n , n ? 1, 2,3,

,若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 ,,则(

)

A.{S n}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

错误!未指定书签。 4. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)函数 y =f (x) 的图像如图

所示,在区间 ? a,b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得 是

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围 x1 x2 xn

16

an ?1 ? an , bn ?1 ?
(A) ?3,4? (B) ?2,3,4? (C)

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n 2 2
(D) ?2,3?

?3,4,5?

5 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)已知等比数列 {an } 的公

比为 q,记 bn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m ,

cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ), 则以下结论一定正确的是(
A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q
m

)

B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q

2m

m2

mm

6 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )等比数列 ?an ?的前 n 项

和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

7 错误!未指定书签。

. ( 2013 年 高 考 新 课 标 1 ( 理 ) )设等差数列

?an ? 的 前 n

项和为

Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3,则 m ? ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)下面是关于公差 d

?0的

等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 A.-24 (B) p3 , p4 B.0

p2 : 数列?nan ?是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;

(C) p2 , p3 C.12

(D) p1 , p4 D.24
17

错误!未指定书签。 9. (2013 年高考江西卷(理) )等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

二、填空题 10 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )在等差数列 {an } 中, a2

? a1 ? 8 ,且 a 4 为 a 2 和 a3 的等比

中项,求数列 {an } 的首项、公差及前 n 项和.
11 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )等差数列 ?an ?的前 n 项和

为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为________.
12 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.

如三角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? , 2 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? ___________.
13 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )在正项等比数列 {an }

1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为_____________. 2 1 n ? 14 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷 (理) ) 设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ? ( ?1) an ? n , n ? N , 2
中, a5 ? 则 (1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________.
15 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)当 x ? R,

x ? 1 时,有如下

表达式: 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? ... ?

1 . 1? x
1 1 1 0 0 0

两边同时积分得:

?

1 2 0

1dx ? ? 2 xdx ? ? 2 x 2 dx ? ... ? ? 2 x n dx ? ... ? ? 2
0

1

1 dx. 1? x

从而得到如下等式: 1?

1 1 1 2 1 1 3 1 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ... ? ? ( ) n ?1 ? ... ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

C

0 n

1 1 1 1 1 2 1 1 1 n ? ? C n ? ( ) 2 ? C n ? ( )3 ? ... ? ? ( ) n ?1 ? _____ C n 2 2 2 3 2 n ?1 2
18

16 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 (理) 试题) 已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,

公差 d ? 0 , S n 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____
17 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,

则数列的前 n 项和 S n = __________.
18 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)在等差数列

?an ? 中,已知

a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.
19 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )观察下列等式:

12 ? 1
12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6

12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10

( - 1) n ? 照此规律, 第 n 个等式可为___ 1 - 2 ? 3 - ? ?
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) ____. 2

20 错误!未指定书签。 . (2013 年 高考新课标 1(理) )若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

2 1 an ? ,则数列{ an } 3 3

的通项公式是 an =______.
21错误!未指定书签。 . (2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)如图,互不-相同的点

A1 , A2

, Xn,

和 B1 , B2

, Bn ,

分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn?1 An?1

的面积均相等.设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是_________.

22 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (理) ) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_______;

前 n 项和 Sn=___________.
23 错误!未指定书签。 . (2013 年普通 高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知等比数列 ?an ? 是递增

数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________.
2

三、解答题 24 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)设函数

19

f n ( x) ? ?1 ? x ?

x2 x2 ? ? 22 32
n

?

xn ( x ? R, n ? N n ) ,证明: n2

(Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ?[ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 x n 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn? p ?
n

2 3

25 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 ) ) (3 分 +6 分 +9 分 ) 给 定 常 数 c ? 0 , 定 义 函 数

1 . n

f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 |? | x ? c,|数列 a1 , a2 , a3 ,

满足 an?1 ? f (an ), n ? N * .

(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a 2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,

an ,

成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说明理由.

26 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 10 分.
k个 k -1 k -1 1 ,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, , (-1 ) k, ,(-1 ) k ?an?:







,





(k ? 1 )k ( k k ?1 ) k ?1 ?n? (-1 ) k ,记 Sn ? a1 ? a2 k ? N ? 时, an ? 2 2

?

?

? an n ? N ? ,对于 l ? N ? ,定义

?

?

? 集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l

?

?

(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数.
27 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙 江数学 (理) 试题) 在公差为 d 的等差数列 {a n }

中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .

28 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )已知等比数列 ?an ? 满足:

a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 ; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. am

29 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)设等差数列 ?an ? 的前 n 项

和为 S n ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
20

(Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 项和 Rn .

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n 2n

30 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) ) 本小题满分 16 分.设 {an }

是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , S n 是其前 n 项和.记 bn ?
*

nSn * , n ? N ,其中 c 为实数. 2 n ?c

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N ); (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)等差数 列 ?an ? 的

前 n 项和为 S n ,已知 S3 =a2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的通项式.
2

【答案】

31 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 (理) 试题) 已知首项为

3 的等比数列 {an } 2

不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?

1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

32 错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 )) 正 项 数 列 {an} 的 前 项 和 {an} 满
2 足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 5 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 ( n ? 2) a 64

33 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)设数列 ?an ? 的前 n 项和为

S n .已知 a1 ? 1 ,
(Ⅰ) 求 a 2 的值;

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式;
21

(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

34 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的

最大值记为 An,第 n 项之后各项 an ?1 , an ? 2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个 周期为 4 的数列(即对任意 n∈N , an? 4 ? an ),写出 d1,d2,d3,d4 的值;
*

(II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1. 35 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) ) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是 等比数列.

专题五:平面向量
一、选择题 1 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海 卷(理) )在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余

顶点为终点的向量分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1 , d2 , d3 , d4 , d5 . 若 m, M 分 别 为 (ai ? a j ? a 最 小 值 、 最 大 值 , )k ? ( dr ? ds 的 ?)d t 其 中 )

{i , j , ? k }

{ 1 ,,{r ,2 s, t,} ? 3 {1, , 2,3, 4 4,5} , 5 ,} 则 m, M 满足
B. m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 D. m ? 0, M ? 0



A. m ? 0, M ? 0

2 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 点

A ?1, 3 , AB 同方向的单位向量为 ? ,B? 4?, ? 1则与向量
A. ? ,-

( D. ? ? , ?



?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

? 4 3? ? 5 5?

3 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)设 ?ABC, P 0 是边 AB 上
22

一定点,满足 P 0B ? A. ?ABC ? 90
0

1 AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 PB ? PC ? P 0B ? P 0C .则 4
B. ?BAC ? 90
0





C. AB ? AC

D. AC ? BC

4 错 误! 未指 定书 签。 . ( 2013 年 普通高等学校招生统一 考试福建数学(理)试题 ) 在四边形 ABCD

中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C.5 D.10





错误!未指定书签。 5. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)在平面直角坐标系中, O 是









,







A, B





OA ? OB ? OA OB ? 2,

则 (

点 )



?P |

O ? ?P

?O ?

A ,

? ?O ? B 1? , 所表示的区域的面积是 ?, ? ? R
C. 4 2 D. 4 3

?

A. 2 2

B. 2 3

6 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 平 面

上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? A. ? 0,

1 ,则 OA 的取值范围是 ( 2
? 7 ? , 2 ? ? 2 ? ?



? ? ?

5? ? 2 ?

B. ?

? 5 7? ? 2 , 2 ? ? ?

C. ?

? 5 ? , 2 ? ? 2 ? ?

D. ?

错误!未指定书签。 7. ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) ) 已知 a , b 是 单 位向 量 , a b ? 0 . 若 向量 c 满 足

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是
, 2+1? A. ? 2-1, ? ? , 2+1? C. ?1, ? ? , 2+2 ? B. ? 2-1, ? ? , 2+2 ? D. ?1, ? ?





8 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD 版含答案 )已知向量

m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? =
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. -1

?

? ?

?





9 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向

量 AB 在 CD 方向上的投影为

( C. ?



A.

3 2 2

B.

3 15 2

3 2 2

D. ?

3 15 2

二、填空题 10 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )已知正方形 ABCD 的边

长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE BD ? _______.
23

, k) ,b 11 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()已知向量 a ? (1
则实 数 k ? __________

? (9, k ? 6) .若 a // b ,

12 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)已知向量 AB 与 AC 的夹

角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC , 则实数 ? 的值为__________.
13 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c= ta+(1-t)b,

若 b?c=0,则 t=_____.
14 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (理) ) 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λ a+μ b

(λ ,μ ∈R),则

? =_________. ?

b

a

c

15 错误!未指定书签。 . (201 3 年普通高等学校招生 统一考试浙江数学(理)试题)设 e1 , e2 为单位向量,非零

向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角 为

|x| ? ,则 的最大值等于________. 6 |b|

16 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )设 D,E 分别是 ?ABC

的 边 AB ,BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为 实 数 ), 则 2 3

?1 ? ?2 的值为__________.
17 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考四川卷(理) ) 在平行四边形

ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点

O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? ___ ______.
18 错 误! 未指 定 书签 。 . ( 2013 年高考江西 卷(理 ) ) 设 e1 , e2 为单位向量 . 且 e1 , e2 的夹角为

? ,若 3

a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向上的射影为 ___________
19 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)在平行四边形 ABCD 中, AD

BE ? 1 , 则 AB 的长为______. = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD·

专题六:不等式
一、选择题
24

1 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题) 设正实数 x, y, z 满足

2 1 2 xy ? ? x ? 3xy ? 4 y ? z ? 0 ,则当 z 取得最大值时, x y z 的最大值为
2 2





A.0

B.1

9 C. 4

D.3 ( )

错误!未指定书签。 2. (2013 年高考陕西卷(理) )设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有

A.[-x] = -[x]

B.[2 x] = 2[x]

C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

? y ? 2x ? 错误! 未指定书签。 3. (2013 年高考湖南卷 (理) ) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则x ? 2 y的最大值是 ? y ? ?1 ?
( )

4 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招 生统一考试天津数学 (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) .

5 A. 2

B. 0

5 C. 3

5 D. 2

? 1 1? 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A, 若 ?? , ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? 2 2?
?1? 5 ? A. ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 3 ? B. ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? D. ? ? ??, ? 2 ? ? ?
C .





?1? 5 ? ? 1? 3 ? ? ??? ? 2 ,0 ? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?

错误!未指定书签。 5. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )已知 a ? 0 , x, y 满足约

?x ? 1 ? 束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
A.





1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

6 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)设变量 x, y 满足约束条

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z = y-2x 的最小值为 ? y ? 3 ? 0, ?





B.-4 D.2 错误!未指定书签。 7. (2013 年高考湖北卷(理) )一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车, 以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ? 离(单位; m )是
25

A.-7 C.1

25 ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距 1? t
( )

A. 1 ? 25ln 5

B. 8 ? 25ln

11 3

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50ln 2

8 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) 试题 ) 已知一元二次不等式 f (x)<0

的解集为 ? x |x<-1或x> A. ?x |x<-1或x>lg2 C. ?x |x>-lg2

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解 集为
B. ?x |-1<x<lg2 D. ?x |x<-lg2





?

?

?

?
( )

9 错误!未指定书签。 . ( 2013 年上海市春季高考数学试卷 ( ) 如果 a ? b ? 0 , 那么下列不等式成立的是

A.

1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

2

D. ?

1 1 ?? a b

10 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 (理) 试题) 在平面直角坐标系 xoy 中, M

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 3x ? y ? 8 ? 0, 为不等式组 ? 所表示的区域上一动点,则 直线 OM 斜率的最小值为





A.2

B.1

1 C. 3 ?

1 D. 2 ?

11 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) )设

a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则
A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c [





?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 12 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域 ?y ? m ? 0 ?
内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是 A. ? ??, ?
二、填空题 13 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD 版含答案)记不等式组

( D. ? ??, ? ?



? ?

4? 3?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ?

? ?

2? ? 3?

? ?

5? 3?

? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? a ? x ? 1? 与 D 公共点,则 a 的取值范围是______. ?3x ? y ? 4, ?
14 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )若点(x, y)位于曲线 y ?| x ? 1| 与 y=2 所围成的封闭区域,

则 2x-y 的最小值为_______.
15 错误 ! 未指 定 书签 。 . ( 2013 年高 考四川 卷(理 ) ) 已知 f ( x ) 是定义域为
26

R 的偶函数 , 当 x ≥ 0

时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ,那么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________.

?x ? 4 y ? 4 ? ?x ? y ? 4 ?x ? 0 16 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)给定区域 D : ? ,
令点集

T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z,? x0 , y0?

} , 是 z ? x ? y 在 D 上取得最大值或最小值的点 , 则 T 中的

点共确定_____ _条不同的直线.
17 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题) 设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y

?x ? y ? 2 ? 0 ? 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则实数 k ? ________. ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
18 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)设 a + b = 2, b>0, 则当

a = ______时,

1 |a| 取得最小值. ? 2| a| b
2

19 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解

集为___________.
20 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) ) 已 知
2 ______. a, b,? c ,? a 2? b 则 3? 2 c 6 , 2 ?a 的最小值为 4 ?b 9 c

三、解答题 21 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()如图,某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地,

其中 ?B 为直角, AB 长 40 米, BC 长 50 米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且 B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积. A

B

C

22 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )(6 分+8 分)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某

种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得利润是 100(5x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.

3 x

专题七:立体几何
一、选择题
27

错误!未指定书签。 1. (2013 年高考新课标 1(理) )如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器

高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器 的厚度,则球的体积为

( A.



500? 3 cm 3

B.

866? 3 cm 3

C.

1372? 3 cm 3

D.

2048? 3 cm 3

2 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)设 m, n 是两条不同的直

线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?





3 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()若两个球的表面积之比为 1: 4 ,则这两个球的

体积之比为 A. 1: 2

( B. 1: 4 C. 1:8 D. 1:16 (



4 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)已知正四棱柱

ABCD ? A1B1C1D1 中 AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于
A.



2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

5 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

( A. 16 ? 8? B. 8 ? 8?



C. 16 ? 16? D. 8 ? 16? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个 简单几何体组成,其体积分别记为 V1 , V2 , V3 , V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何
28

体均为多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 B . D. V2 ? V3 ? V1 ? V4





V1 ? V3 ? V2 ? V4

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方

形,则该正方体的正视图的面积不可能 等于 ... A. 1 B. 2 C.





2-1 2

D.

2 +1 2

错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) 卷) 某四棱台的三视图如图所 示,

则该四棱台的体积是
1
2

2
正视图 侧视图

1 1
俯视图 第 5 题图





A. 4

14 B. 3

16 C. 3

D. 6

6 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 已知 m, n 为异面直线, m ?

平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则
29





A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

7 错误!未指定书签。 . (2 013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题 )已知三棱柱

ABC ? A1B1C1

9 ABC 的侧棱与底面垂直 ,体积为 4 ,底面是边长为 3 的正三角形.若 P 为底面 1 1 1 的中心,则 PA 与平
面 ABC 所成角的大小为 ( )

5? A. 12

? B. 3

? C. 4

? D. 6

8 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)某几何体的三视图如题 ? 5 ?

图所示,则该几何体的体积为 A.

( C. 200 D. 240



560 3

B.

580 3

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的

6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为





A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 ? 上,且

AB CD ,正 方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m, n ,那么 m ? n ?


30



A.8

B.9

C.10

D.11

9 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )一个四面体的顶点在空间

直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时 ,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

( A. B. C. D.



10 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)在下列命题中,不是公理 的 ..

是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 11 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)在空间中,过点 A 作平面 ? 的 垂 线 , 垂 足 为 B , 记 B ? f? ( A) . 设 ? , ? 是 两 个 不 同 的 平 面 , 对 空 间 任 意 一 点

P , Q1 ? f ? [ f? ( P)],Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则
A.平面 ? 与平面 ? 垂直 C.平面 ? 与平面 ? 平行 B.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 45
0





D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60

0

12 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的直观图可

以是

二、填空题
31

13 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1)

2

? y 2 ? 1( x ? 1) 和

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y
轴旋转一周而成的几何体为 ? ,过 (0, y )(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得截面面积为 4? 1 ? y2 ? 8? , 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

14 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_______.

2 1

1

1

15 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案)已知圆 O 和圆

K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK ?
个二面角为 60 ,则球 O 的表面积等于______.

3 ,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一 2

16 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中

点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为__________.

D1

C1

A1

D A

P

B1

B

E

C

17 错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) ) 如图 , 在三棱柱

A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱
柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V 2 ,则 V1 : V2 ? ____________.
32

C1 A1

B1

F
A E

C
D B

18 错误! 未指定书签。 ( .2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题) 若某几何体的三视图(单位:cm)

如图所示,则此几何体的体积等于________ cm .
4 3 2 正视图 3 俯视图 (第 12 题图) 侧视图 3

2

19 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)如图,正方体

ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体
所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).

①当 0 ? CQ ? 满足 C1R1 ?

1 1 3 时,S 为四边形;②当 CQ ? 时,S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时,S 与 C1D1 的交点 R 2 2 4

6 1 3 ;④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形;⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为 . 2 3 4

20 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)某几何体的三视图如图所

示,则该几何体的体积是____________.

33

21 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)已知某一多面体内接于一

个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方 形,则该球的表面积是_______________

22 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()在如图所示的正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,异

面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为_______ D1 A1 D A
三、解答题

C1 B1 C B

25 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)如图,圆锥顶点为

p .底面

圆心为 o ,其母线与底面所成的角为 22.5°. AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°.

(Ⅰ)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面;

(Ⅱ)求 cos ?COD .

34

26 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一 考试浙江数学(理)试题)如图,在四面体 A ? BCD

中, AD ? 平面 BCD, BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在 线段 AC 上,且 AQ ? 3QC .
0 (1)证明: PQ // 平面 BCD ;(2)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ,求 ?BDC 的大小.

A

M P Q B C (第 20 题图) D

27 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()如图,在正三棱锥 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1

? 6,

异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 A1 B1 C1

? ,求该三棱柱的体积. 6

A B

C

28 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 14 分.

如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足 为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G C

A B

29 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明

直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

35

D A D1 B

C C1 B1

A1

33 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1 (理) ) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

37 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 10 分.

如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA 1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 (2)求平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的正弦值.

42 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 如图,直棱柱 ABC ? A1 B1C1

中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ? (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD ;

2 AB . 2

(Ⅱ)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值.

36

A1 B1

C1

A

E

C

D

B

43 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (理) ) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,

平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

专题八:直线和圆
一、选择题 1. (2013 年上海市春季高考数学试卷()直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是





A. (2,? 3)

3) B. (2,

2) C. (?3,

2) D. (3,

2 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 Ⅱ 卷数学(理) ) 已知点

A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) , 直线
( )

y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取值范围是
A. (0,1) B. (1 ?

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

2 1 1 1 , ] D. [ , ) 2 3 3 2

37

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)过点

(3,1) 作圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1的两条切线,
( )

切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为 A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知点

O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a, a 3 ? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
A. b ? a
3





B. b ? a 3 ?

1 a
3

C. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3

1 ?0 a

5. (2013 年高考江西卷 (理) ) 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2 之间 l // l1 , l 与

半 圆 相 交 于 F,G 两 点 , 与 三 角 形 ABC 两 边 相 交 于 E,D 两 点 , 设 弧 FG 的 长 为

x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD , 若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致是

6 . (2 013 年高考湖南卷(理) )在等腰三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光

线从点 P 出发,经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图 1 ).若光线 QR 经过 ?ABC 的中心,则 AP 等


38



A. 2
二、解答题

B. 1

C.

8 3

D.

4 3

7. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系

xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为1 ,圆心在 l 上.[来源:数理化网]
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. y A O l

x

39

专题九:圆锥曲线
一、选择题 1 . (2013 年高考江西卷(理) )过点 (

2,0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当
( )

? AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于
A. y ? EB ? BC ? CD

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离 4
( )

等于 A.

2 5

B.

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) 卷) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为

F ? 3,0 ?

,

3 离心率等于 2 ,在双曲线 C 的方程是
x2 y 2 ? ?1 4 5 A.
x2 y2 ? ?1 5 B. 4 x2 y2 ? ?1 5 C. 2





x2 y 2 ? ?1 2 5 D.

4 . (2013 年高考新课标 1(理) )已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线 2 a b 2
( )

方程为 A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

5 .( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 )) 已 知

0?? ?

?
4

, 则 双 曲 线 C1 :

x2 y2 ? ?1 与 cos2 ? sin 2 ?
( )

y2 x2 C2 : 2 ? 2 ? 1的 sin ? sin ? tan 2 ?
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
2

C.焦距相等

D.离心率相等

6 . (2013 年高考四川卷(理) )抛物线 y

? 4 x 的焦点到双曲线 x 2 ?

y ? 1 的渐近线的距离是 3

2





A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D. 3

40

7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题) 如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C 2 4

的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C 2 的离心率是
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

( C.



A. 2

B. 3

3 2

D.

6 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐 a 2 b2

8 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题) 已知双曲线

近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = A.1 B.
3 2

( C.2 D.3



9 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 , 4 3
( )

点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

1? C. ? ,

?1 ? ?2 ?

1? D. ? ,
2

?3 ? ?4 ?

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )已知抛物线 C : y

? 8x 与点 M ? ?2, 2? ,过 C 的
( )

焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA MB ? 0 ,则 k ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

11. (2013 年高考北京卷(理) )若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a2 b2
C. y ? ?





A.y=±2x

B.y= ? 2 x

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

41

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)已知抛物线

C1

y?
:

1 2 x 2 p ( p ? 0) 的焦点与

x2 ? y2 ? 1 C2 3 C C C 双曲线 : 的右焦点的连线交 1 于第一象限的点 M .若 1 在点 M 处的切线平行于 2 的一条
渐近线,则 p ? ( )

3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

13. (2013 年高考新课标 1(理) )已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交 a 2 b2
( )

椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为

A.

x2 y2 ? ?1 45 36

B.

x2 y2 ? ?1 36 27

C.

x2 y2 ? ?1 27 18

D.

x2 y2 ? ?1 18 9
2

14. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )设抛物线 C : y

? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,
( )

点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为 A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

15. (2013 年上海市春季高考数学试卷() 已知 A 、 B 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,

垂足为 N .若 MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
2

2





16 . ( 2013 年 普 通 高 等 学校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数学( 理 ) 试 题 ) 已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 , 圆
2

C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点 , P 为 x 轴上的动点 , 则 PM ? PN 的最小
2 2

值为 A. 5 2 ? 4
二、填空题 17. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )双曲线

( B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17



x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程 16 9

为_____________.
18. (2013 年高考江西卷 (理) ) 抛物线 x
2

? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线
42

x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 3 3

两点,若 ?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________
19. (2013 年高考湖南卷(理) )设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点, a 2 b2

若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___.
20. (2013 年高考上海卷 (理) ) 设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

?
4

,若 AB=4, BC ?

2 ,则 ?

的两个焦点之间的距离为________
21. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点.
2

若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC 为直角,则 a 的取值范围为___ _____.
22. ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标
2

轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界).若点 P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的 取值范围是__________.
23. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准

方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF a 2 b2

的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为_______.

x2 y 2 24. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左.右焦点 a b
分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直线 y ? 该椭圆的离心率等于__________
25. (2013 年高考陕西卷(理) )双曲线

3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于___9_____. 4 16 m

26. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 a 2 b2
4 ,则 C 的离 5

为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? 心率 e= ______.
27. (2013 年上海市春季高考数学试卷()抛物线 y
2

? 8 x 的准线方程是_______________

28 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 设定点

A(a, a) , P 是函数 y ?

1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的 x

实数 a 的所有值为_______.
43

29. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) 试题) 设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,过点 P ( ?1,0)
2

的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________. 14.30.( 2014 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题) 设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )两条渐近线分别交于点 A, B ,若点 P (m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心 a2 b2
率是__________
三、解答题 30. (2013 年上海市春季高考数学试卷()本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分.

B2 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1, 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、
(1)若 ?F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程;

Q 两点,且 F1P ? FQ (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 ,求直线 l 的方 1
程.
31. (2013 年高考四川卷(理) )已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) , a 2 b2

且椭圆 C 经过点 P( , ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

4 1 3 3

2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

32. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

点分别是 F1 , F2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. 2

(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点 ,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的长 轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 , 设直线

PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk 2
44

33.(2014 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)

如图,设椭圆 C : 第一象限.

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0?, 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ,学科网且点 P 在 a 2 b2

(1)已知直线 l 的斜率为 k ,用 a, b, k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离学科网的最大值为 a ? b .

36 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 点 P(0,?1) 是 椭 圆

C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相 2 a b

垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C 2 于两点, l 2 交椭圆 C 1 于另一点 D (1)求椭圆 C 1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

45

38. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q ,并 且 F1P ? FQ ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上. 1

39. (2013 年高考新课标 1(理) )已知圆 M : ( x ? 1)

2

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切

并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3.

设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为 R.

40. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离 a 2 b2

心率为

3 4 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若
AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

x2 y2 1 3 41. (2013 年高考江西卷(理) )如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b >0) 经过点 P(1, ), 离心率 e= ,直线 l 的方 a b 2 2
程为 x =4 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由.

46

42 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷) 已知抛物线 C 的顶点为原点 , 其焦点

F ? 0, c?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两 2

(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

43 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) )平面直角坐标系

xOy 中 , 过 椭 圆

M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的 a 2 b2

斜率为

1 . 2

(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积的最大值.

44. (2013 年高考湖北卷(理) ) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,

短轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大 到小依次为 A , B , C , D .记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n
47

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.
y A B

M

O

N x

C
D

第 21 题图

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 45. (2013 年高考北京卷(理) )已知 A、B、C 是椭圆 W: 4
(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

46. (2013 年高考陕西卷(理) )已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ? PBQ 的角 平分线, 证明直线 l 过定点.

47 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 抛 物 线

C1 : x2 ? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? , 点 M ? x0 , y0 ? 在 抛 物 线 C 2 上 , 过 M 作 C1 的 切 线 , 切 点 为
1 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 - . 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C 2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. A, B重合于O时,中点为O .

?

?

48

48. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 a 2 b2

右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 3, 直线 y ? 2 与 C 的两个交点间的距离为 6 . (I)求 a , b; ; (II) 设 过 F2 的 直 线 l 与 C 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 A, B 两 点 , 且 AF 1 ? BF 1 , 证 明: AF2 、 AB 、 BF2 成等比数列.

49. (2013 年上海市春季高考数学试卷()本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F .
2

(1)点 A 、 P 满足 AP ? ?2FA .当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在,求所有满足 条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

49

专题十:概率和统计
一、选择题 错误!未指定书签。 1. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)某学校组织学生参加英语

测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 ? 20, 40 ? , ? 40, 60 ? , ? 60,80 ? ,8 ? 20,100 ? . 若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是

( A. 45 B. 50



C. 55 D. 60 2 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的 人数为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 错误!未指定书签。3. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)某班级有 50 名学生,其中 有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的 成 绩 分 别 为 86,94,88,92,90, 五 名 女 生 的 成 绩 分 别 为 88,93,93,88,93. 下 列 说 法 一 定 正 确 的 是 ( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 错误!未指定书签。 4. (2013 年高考湖南卷(理) )某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习 兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方 法是 ( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 错误!未指定书签。 5. (2013 年高考陕西卷(理) )如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基 站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工 作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率是 .

D

F

C

1 E A
A. 1 ?

2
?
4

B
?
2 ?1





B.

C. 2 ?

?
2

D.

?
4

50

错误!未指定书签。 6. (2013 年高考四川卷(理) )节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一

次闪亮相互独立,若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮,那么 这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( ) A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

7 8

错误!未指定书签。 7. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)某校从高一年级学生中随

机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为 6 组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块 测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( ) A.588 B.480 C.450 D.120

8 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )总体有编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成。利用下

面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次 选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 A.08 9234 B.07 4935 8200 C.02 3623 4869 6938 7481 ( )

D.01 9 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中 小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较 大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 10 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)以下茎叶图记录了甲.乙两 组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 甲组 乙组 9 0 1 2 9 5 4 ( )

x
7

2 4

y

8

已知甲组数据的中位数为 15 ,乙组数据的平均数为 16.8 ,则 x, y 的值分别为 A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,8

11 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)已知离散型随机变量 X 的

分布列为

X P

3 5

2 3 10
51

3 1 10

则 X 的数学期望 EX ?





3 A. 2

B. 2

5 C. 2

D. 3

12 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同

样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为

E?X ? ?
A.

( B.



126 125

6 5

C.

168 125

D.

7 5

二、填空题 13 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中

任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 14 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用 电量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所示. (I)直方图中 x 的值为___________; (II)在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为_____________.

15 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )抽样统计甲、乙两位设

计运动员的 5 此训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________.
16 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)利用计算机产生 0~1 之间

的均匀随机数 a,则时间“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为________
16 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )从 n 个正整数 1, 2, …n 中
52

任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为

1 ,则 n ? ________. 14

17 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)为了考察某校各班参加课

外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本 平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________.
18 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , x3 ,

, x19 的公差,随机

变量 ? 等可能地取值 x1 , x2 , x3 ,

, x19 ,则方差 D? ? _______

19 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)在区间

? ?3,3? 上随机取一

个数 x ,使得

x ?1 ? x ? 2 ? 1

成立的概率为______.

20 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) ) 现在某类病毒记作 X m Yn ,

其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,则 m,n 都取到奇数的概率为____________.
三、解答题 21 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)某车间共有 12 名工人,随

机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

1 2
3

7 0
0

9 1 5

第 17 题图

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 ,根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优 秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有名优秀工人的概率.
22 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空

气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

53

23 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)某联欢晚会举行抽奖活动,

举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

2 2 ,中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中 3 5

将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后 凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学 期望较大? 24 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

25 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )甲、乙、丙三人进行羽毛球练

习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的 概率均为 , 各局比赛的结果相互独立,第局甲当裁判. (I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望.
26 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)现有 10 道题,其中 6 道甲

1 2

类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 题的概率都是 望.

3 ,答对每道乙类 5

4 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期 5

27 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )

在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名 歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.
28 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每
54

个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一 株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

29 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)某商场举行的“三色球”

购物摸奖活动规定 :在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从 装有个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如 下: 奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200 元 二等奖 3红0蓝 50 元 三等奖 2红1蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? .

30 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)设袋子中装有 a 个红球, b

个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ? 为 取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2) 从 该 袋 子 中 任 取 ( 且 每 球 取 到 的 机 会 均 等 )1 个 球 , 记 随 机 变 量 ? 为 取 出 此 球 所 得 分 数 . 若

5 5 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9
31 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )经销商经销某种农产品,

在一个销售季度内,每售出 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 t 亏损 300 元.根据历史资料,得 到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产
55

品,以 X (单位:t, 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销 售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X ? [100,110) ,则取 X ? 105 ,且 X ? 105 的概率等于需 求量落入 [100,110) 的概率),求利润 T 的数学期望.
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

32 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球

队.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 , (如图)这 8 个点中任取两点分别为终点 得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望.

33 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)甲、乙两支排球队进行比

赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是 队获胜的概率都是

1 外,其余每局比赛甲 2

2 ,假设各局比赛结果相互独立. 3
56

(Ⅰ)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对 方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.
34 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布

N ?800,502 ? 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 .
(I)求 p0 的值;(参考数据:若 X

N ? ? , ? 2 ? ,有

P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 .)
(II) 某 客 运公 司 用 A . B 两 种型 号 的 车 辆 承担 甲 . 乙两地 间 的 长 途客 运 业 务 , 每车 每 天 往 返一 次, A . B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要以不小 于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客 , 且使公司从甲地去乙地的运营成本最小 , 那么应配备 A 型 车. B 型车各多少辆?

35 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产

品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产 品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独 立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费 用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

36 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考四川卷(理) ) 某算法的程序框图如图所示 , 其中输入的变量 x 在

1, 2,3, ???, 24 这 24 个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为的概率 P i (i ? 1, 2,3) ; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值 为 i (i ? 1, 2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行次数 输出 y 的 值为的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 乙的频数统计表(部分) 输出 y 的值 为 3 的频数 运行 次数 n 输出 y 的值 为的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数

n
30 2100

14

6
376

10
697
57

30 2100

12

11

7
353

1027

1051

696

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、 乙所编程序各自输出 y 的值为 i (i ? 1, 2,3) 的频率(用分 数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列及数学期望.

37 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)某高校数学系计划在周六

和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每 次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知 的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通 知信息的学生人数为 x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P ( X ? m) 取得最大值的整数 m .

专题十一:程序框图
一、选择题 错误!未指定书签。 1. (2013 年高考北京卷(理) )执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

58

开始
i ? 0, S ? 1

S?

S 2 ?1 2S ? 1

i ? i ?1

i≥2



是 输出 S 结束 A.1 B. ( )

2 3

C.

13 21

D.

610 987
( )

错误!未指定书签。 2. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)某程序框图如图所示,若

该程序运行后输出的值是 A. a ? 4
开始 S=1,k=1 是

9 ,则 5 B. a ? 5

C. a ? 6

D. a ? 7

k>a? 否 1 S=S+ k(k+1)

k=k+1

输出 S

结束 (第 5 题图)

错误!未指定书签。 3. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)如图所示,程序框图(算法

流程图)的输出结果是

59

( A.



1 6

B.

25 24

C.

3 4

D.

11 12
( )

错误!未指定书签。 4. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题) 执行如题(8)图所示的程

序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框内应填入的条件是 A. k ? 6 B. k ? 7 C. k ? 8

D. k ? 9

5 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )阅读如下程序框图,如果输出 i

? 5 ,那么在空白矩形框

中应填入的语句为

( A. S ? 2* i ? 2 B. S ? 2* i ? 1 C. S ? 2* i D. S ? 2* i ? 4



错误!未指定书签。 6. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)阅读如图所示的程序框图,

若输入的 k ? 10 ,则该算法的功能是 A.计算数列 2n ?1 的前 10 项和 C.计算数列 2n ? 1 的前 10 项和

( B.计算数列 2n ?1 的前 9 项和 D.计算数列 2n ? 1 的前 9 项和



? ?

? ? ?

?

?

?

60

错误!未指定书签。 7. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )执行右面的程序框图,如

果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ?
开始
输入N

k ? 1, S ? 0, T ? 1
T? T k

S ? S ?T k ? k ?1
k ? N?




输出S

结束

( B . D .



A. 1 ?

1 1 1 ? ? ……+ 2 3 10 1 1 1 ? ? ……+ 2 3 11

1?

1 1 1 ? ? ……+ 2 ! 3 ! 10 ! 1 1 1 ? ? ……+ 2 ! 3 ! 11 !

C. 1 ?

1?

8 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)执行如图所示的程序框图,

若输入 n ? 10, 则输出的S ? A.

( C.



5 11

B.

10 11

36 55

D.

72 55

61

错误!未指定书签。 9. (2013 年高考新课标 1(理) )运行如下程序框图,如果输入的 t ? [ ?1,3] ,则输出 s

属于

( A. [?3, 4] B. [?5, 2] C. [?4,3] D. [?2,5]



10 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y

( B.30 C.31 D.61



A.25

11 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)阅读右边的程序框图, 运

行相应的程序, 若输入 x 的值为 1, 则输出 S 的值为

62

( A.64
二、填空题 12 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考湖南卷(理) )执行如图 3 所示的程序框图,如果输入



B.73

C.512

D.585

a ? 1, b ? 2, 则输出的a的值为 _____9_____.

13 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )下图是一个算法的流程

图,则输出的 n 的值是________.

14 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)执行如图所示的程序框图,
63

若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为______. 开始 输入n
i ? 1, s ? 1

i?n




输出 s 结束

s ? s ? ? i ?1?

i ? i ?1
第 11 题图

15 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考湖北卷(理) )阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结

果 i ? ___________.
开始

a ? 10, i ? 1
a ? 4?
否 是 是

a 是奇数 ?



a ? 3a ? 1

a?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

16 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)执行右图的程序框图,若输

入的 ? 的值为 0.25,则输出的 n 的值为_____.

64

专题十二:常用逻辑用语
一、选择题 1 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 集 合

A ? ?1, a? , B ? ?1, 2,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 有 x 2 ? 0 ”的否定为 A.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 B.不存在 x ? R ,都有 x 2 ? 0 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件





2 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)命题“对任意 x ? R ,都





3 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题

p : ?x ? A, 2 x ? B ,则
A. ?p : ??x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B





错误!未指定书签。 4. (2013 年高考湖北卷(理) )在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题 p 是

“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为
65





A. ? ?p ? ? ? ?q ?

B. p ? ? ?q ?

C. ? ?p ? ? ? ?q ?

D. p ? q

5 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便

( ) B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 错误!未指定书签。 6. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的
1 1 , 则其体积缩小到原来的 ; 2 8 1 相切. 2

宜”是“好货”的 A.充分条件

②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 其中真命题的序号是: A.①②③ B.①② A.若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2 C.若 | z 1 |?| z 2 | , 则 z1· z1 ? z2 · z2



) )

C.②③ D.②③ 错误!未指定书签。 6. (2013 年高考陕西卷(理) )设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( B.若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 D.若 | z1 |?| z2 | , 则 z12 ? z2 2

错误!未指定书签。 7. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)给定两个命题 p , q .若 ?p

是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 ?q 的





A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 8 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )设 a, b 为向量, 则“ | a· b |?| a || b | ”是“a//b”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

9 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A cos(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) ,则“ f ( x) 是奇函数”是 ? ?
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2







10 错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题) "a ? 0" “是函数

f (x)= (ax-1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 11 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考北京卷(理) ) “φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ ) 过坐标原点的” ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

b c ? R ,“ b ? 4ac ? 0 ”是“函数 12 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()已知 a、、
2

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方”的
66





A.充分非必要条件 C.充要条件
二、填空题

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

13 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 山 东 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 定 义 “ 正 对

数”: ln x ? ?

?

?0, 0 ? x ? 1, 现有四个命题: ? ln x, x ? 1,

①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? ( a b ) ? b ln ? a ; ②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? ( ab) ? ln ? a ? ln ? b ③若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ( ) ? ln a ? ln b
? ? ?

a b

④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? ( a ? b) ? ln ? a ? ln ? b ? ln 2 其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)

专题十三:导数与积分
一、选择题 1 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )已知 a 为常数,函数

f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

有两个极值点 ( )

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则
A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
67

1 2

C.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2
( )

2 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) )已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是
A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B 函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形 .

C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0
错误!未指定书签。 3. (2013 年高考江西卷(理) )若 S1 ?

?

2

1

x 2 dx, S 2 ? ?

2

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1S 2 S3 的 1 x

大小关系为 A. S1 ? S 2 ? S3 C. S 2 ? S3 ? S1 B. S 2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S 2 ? S1





4 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

f ? x ? 满足x 2 f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?
A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0,时,f ? x ? x 8
B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值





错误!未指定书签。 5. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)设函数 f ( x) 的定义域为

R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点
2





错误!未指定书签。 6. (2013 年高考北京卷(理) )直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与

C 所围成的图形的面积等于
A.

( C.



4 3

B.2

8 3

D.

16 2 3

错误!未指定书签。 7. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)已知 e 为自然对数的底数,

设函数 f ( x) ? (e ? 1)( x ? 1) (k ? 1,2) ,则
x k





A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 大值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 大值
68

B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极

D.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极

二、填空题 错误!未指定书签。 8 . (2013 年高考江西卷(理) ) 设函数 f ( x) 在 (0, ??) 内可导,且

f (e x ) ? x ? e x , 则

f x (1) ? ______________
错误!未指定书签。 9. (2013 年高考湖南卷(理) )若

?

T

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为 _________.

10 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) 卷) 若曲线 y ? kx ? ln x 在点

?1, k ?

处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.
三、解答题 11 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 新 课 标 Ⅱ 卷 数 学 ( 理 ) )已知函数

f ( x) ? e x ? ln( x ? m) .
(Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

12 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知函数

f ? x ? ? ?1 ? x ? ? e ?2 x , g ? x ? ? ax ?
(I)求证: 1-x ? f ? x ? ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x. 当 x ? ? 0,1? 时, 2

1 ; 1? x

(II)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

15 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 16 分.

设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为实数.
x

(1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论.

16 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ) 设 函 数

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx2 (其中 k ? R ).
(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ?

?1 ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ?2 ?

69

17 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )已知函数 f (x)=a (1-2 x-

1 ) , a 为常数且 a >0 . 2

(1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x =

1 对称; 2

(2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 ,但 f (x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点,如果 f (x) 有两个二阶 周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围; (3) 对 于 (2) 中 的

x1 ,x2



a

,



x3

为 函 数

f(f(x)) 的 最 大 值

点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC 的面积为 S(a),讨论 S(a)的单调性.
18 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 (理) 试题) 设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,
2

其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

?

?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 19 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 ?ln x, x ? 0 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

20 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )已知 a

? 0 ,函数 f ( x ) ?

x?a . x ? 2a

(I)记 f ( x )在区间? 0, 4 ? 上的最大值为g(a ),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直? 若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x ? a ln x(a ? R )
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.
70

22 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1 (理) ) (本小题满分共 12 分)已知函数

f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x)

x = e (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x ) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2

(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围.
23 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )设 n 是正整数, r 为正有理数.

(I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ?

r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;

(II)证明:

n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1

r ?1

? nr ?

? n ? 1?

? n r ?1 ; r ?1

r ?1

(III) 设 x ? R , 记 ? ? x? ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? ?2? ??2 , ? ?? ? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . 令 ? 2?

? 3?

S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ?
4 3

3

?S ? ? 的值. 125 ,求 ?
4 3 4 3

(参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 )

4 3

24 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )已知函数 f ( x) ? e x , x ? R .

(Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

25 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 山 东 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

f ( x) ?

x ? c ( e =2.71828 是自然对数的底数, c ? R ). e2 x
(Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数.

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间、最大值;

26 错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题) 已知 a ? R , 函数

f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? 3ax ? 3a ? 3.
(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;(2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值.

27 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )已知函数

f ? x ? = ln ?1 ? x ? ?

x ?1 ? ? x ? . 1? x

(I)若 x ? 0时, f ? x ? ? 0, 求?的最小值;;
71

1 1 1 1 ? ln 2. (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ? ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? 2 3 n 4n

28 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? x 2 ln x .

(Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e2 时, 有

29 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )设 l 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方

72

专题十四:复数
一、选择题

1?i)z ?2 i, 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )设复数 z 满足 (
则 z? A. ?1?i ( B. ? 1?i C. 1 ? i D. 1 ? i )

错误!未指定书签。 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 山 东 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 复 数 z 满 足

( z ? 3 ) ( 2 ? i )? 5 (为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为
A. 2 ? i B. 2 ? i C. 5 ? i D. 5 ? i





i, 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷) 若复数 z 满足 iz ?2?4
则在复平面内, z 对应的点的坐标是 A. ( C. )

?2,4 ?

B.

? 2, ?4 ?

? 4, ?2 ?

D.

?4,2 ?

?? 1 ii 为 虚 数 单 位 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )复数 zi 在复平面上对应的点位 ? ?
于 A.第一象限 ( B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

?

?

错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题) 复数的 Z ?

1 模为 i?1


( A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )在复平面内,复数 z ?

2i (为虚数单位)的共轭复数对应 1? i
( )

C.第三象限 D.第四象限 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(理) )如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复 数的点是

的点位于 A.第一象限

B.第二象限

x

A B
A. A

C O
y

D
( B. B )

C. C D. D 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )已知集合 M={1,2,zi},i,为虚数单位,N={3,4},则复数 z= ( ) A.-2i B.2i C.-4i D.4i
错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考新课标 1 (理) ) 若复数 z 满足 ( 3 ? 4 iz )? |4 ? 3 i|, 则 z 的虚部为


73



A. ? 4

B. ?

4 5

C.4

D.

4 5

错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) WORD 版含答案 (已校对) ) 1+

?

3i

?

3

?

( A. ? 8 B. 8 C. ? 8 i D. 8 i ( B. ? 1 ? 3 i C. ? 3 ? 3 i D. ?1?i



错 误! 未指定 书签 。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江 数学(理)试题) 已知是虚数单位 , 则

( ? 1 ? i )( 2 ? i )?
A. ?3?i



错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题) 已知复数 z 的共轭复数

z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
_





错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)设是虚数单位, z 是复数 z 的

| x f (x)>0 z i + 2 = 2 z 共轭复数,若 I ? ,则 z =
B. 1 ? i D. ? 1 - i 2 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A. 1 + i C. ? 1 + i
二、填空题 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市春季高考数学试卷()复数 2









? 3 i (是虚数单位)的模是_______________ 5i 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)已知复数 z ? (是虚数 1 ? 2i
_ _ _ _ _ _ _ _ 单位),则 z ?_
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )设 z ?(2?i) (为虚数单
2

位),则复数 z 的模为_________.
错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )设 m ? R , m ? m ? 2 ? ( m ? 1 ) i是纯虚数,其中 i 是虚数单
2 2

位,则 m ? _ _ _ _ _ _ _ _
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题)已知 a, b∈R, i 是虚数单位.

若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = ______.

专题十五:坐标系与参数方程
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)在极坐标系中,圆 p=2cos?

的垂直于极轴的两条切线方程分别为

= 0 ( ? ? R ) 和 ? c o s = 2 A. ?

B. ? = ( ? ? R ) 和 ? c o s = 2

?





2

74

C. ? = ( ? ? R ) 和 ? c o s = 1

?

2

D. ? = 0 ( ? ? R ) 和 ? c o s = 1

二、填空题 错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题) 已知圆的极坐标方程为

? ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4 , ?

? ? ? , 则|CP| = ______. 3 ?

错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )在极坐标系中,曲线 ??c 与 ?cos? ?1的公共点 o s?? 1

到极点的距离为__________
错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )在极坐标系中,点(2,

? )到直线ρ sinθ =2 的距离等于 6

_________.

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题)在直角坐标系 x O y 中,以原

点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ?co s? ?4的直线与曲线 ?

2 ?? x ? t (为 3 ?? y ? t

B ?_ _ _ _ _ _ 参数)相交于 A , B 两点,则 A
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)(坐标系与参数方程选讲选

? x ? 2 cos t ? ? ? y ? 2 s in t ( 为参数 ), C 在点 ? 1 , 1 ? 处的切线为 , 以坐标原点为极 C 做题 ) 已知曲线 的参数方程为 ? 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.
错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线

的倾斜角 ? 为参数, 则圆 x2 ? y2 ? x ?0的参数方程为______ .
y

P θ

O

x

错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考江西卷(理) ) ( 坐标系与参数方程选做题 ) 设曲线 C 的参数方程为

?x ? t (为参数),若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c 的极坐 ? 2 ? y ? t
标方程为__________

75

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )在平面直角坐标系 x o y 中,若

o s? , ?x?t, ?x?3c l :? (t为 参 数过 ) 椭 圆 C:? in? ?y ?t ?a ?y ?2s
右顶点,则常数 a的值为 ________. ( ? 为 参 数 ) 的
错误!未指定书签。 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) )在直角坐标系 x O y 中,椭圆 C

的参数方程为

? x ? a c os ? ? ? y ? b sin ?

.在极坐标系(与直角坐标系 x O y ? 为 参 数 , ab ?? 0 ? ? 轴 正 半 轴 为 极 轴 ) 中 , 直 线 与 圆 O

取相同的长度单位,且以原点 O 的 极 坐 标 方 程 分 别 为

为 极 点 , 以 x

?? 2 m 为 非 零 常 数 ?sin? m? ?与 ? ? b .若直线经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C ?? ? ? ?
? 4? 2
的离心率为___________.
三、解答题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) )选修 4—4;坐标系与参数方

程 已知动点 P , Q 都在曲线C : ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数上,对应参数分别为???与 ? ? 2 ? ( 0 ? ? ? 2 ? ) , M 为 P Q 的中点. ? y ? 2sin ?

(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 x o y 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C

1

,直线 C

2

的极坐标方程分别为

? ? ? . ? ? 4 s i n, ?? ? c o s ? ?? ? 22 . ? ? 4 ?
(I)求 C 与C 交点的极坐标; 的圆心, Q 为 C 与C 交点连线的中点.已知直线 P Q 的参数方程为

1

2

(II)设 P 为 C

1

1

2

?x ?t3 ?a ? 为 参 数 ?,求 a , b 的值. ? b 3 ?t ?R ?y ? t ?1 ? 2

76

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)坐标系与参数方程:在平面直

角坐标系中,以坐标原点为极点 , x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系 .已知点 A 的极坐标为 ( 2 , 线的极坐标方程为 ?cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线上.

?

? ) ,直 4

4

(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 c 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )C.[选修 4-4:坐标系与参

数方程]本小题满分 10 分.

? x ? 2 tan 2 ? ?x ? t ? 1 在平面直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ? (为参数),曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 2t ? y ? 2 tan ?
( ? 为参数),试求直线与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为

? x ? 4 ? 5 cos t (为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程 ? ? y ? 5 ? 5 sin t
为 ? ?2sin? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

77


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