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利用导数求参数取值范围的几种类型


利用导数求参数取值范围的几种类型
类型 1. 与函数单调性有关的类型 例1. 已知 a

? 0 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 x ??1, ??? 是一个单调函数。

(1) 试问函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是否为单调减函数?请说明理由; (2) 若函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ?

上是单调增函数,试求 a 的取值范围。 解: ( 1 ) f ' ( x) ? 3x2 ? a , 若 函 数 f ( x) 在 区 间 ?1, ?? ? 上 单 调 递 减 , 则

f ' ( x) ? 3x2 ? a ? 0 在 x ??1, ??? 上恒成立,即 3x2 ? a 对 x ??1, ??? 恒成立,这样的

a 值不存在。所以函数 f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上不是单调减函数。
( 2)函数 y ? f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上是单调增函数,则 f ' ( x) ? 3x2 ? a ? 0 ,即

a ? 3 x 2 在 x ??1, ??? 上恒成立,在此区间上 y ? 3x2 ? 3 ,从而得 0 ? a ? 3
规律小结:函数在区间 (a,b)上递增 ? f ' ( x) ? 0 ,递减 ? f ' ( x) ? 0 在此基础上再 研究参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)注意:解出的参数 的值要是使 f ( x) 恒等于 0,则参数的这个值应舍去,否则保留。 类型 2:与极值有关的类型 a 例 2: .(创新拓展)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别 3 为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. a 解 由 f(x)= x3+bx2+cx+d, 3 得 f′(x)=ax2+2bx+c. ∵f′(x)-9x=ax2+(2b-9)x+c=0 的两个根
? ?a+2b+c-9=0, 分别为 1,4,∴? (*) ?16a+8b+c-36=0, ? ?2b+c-6=0, ? (1)当 a=3 时,由(*)式得? ?8b+c+12=0, ?
'

解得 b=-3,c=12,又因为曲线 y=f(x)过原点, 所以 d=0,故 f(x)=x3-3x2+12x.

a (2)由于 a>0,∵f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点, 3 ∴f′(x)=ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a,
?a>0, ? 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).解? ?Δ=9?a-1??a-9?≤0. ?

得 a∈[1,9],即 a 的取值范围为[1,9]. 类型 3. 与不等式有关的类型 例 3.(2008 安徽高考题理 20)设函数 f ( x) ? (1) 求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围
a 1

1 ( x ? 0且x ? 1) x ln x

解: (1) f ( x ) ? ?
'

x

ln x ? 1 1 ' , 若f ( x ) ? 0, 则x ? ,列表如下: 2 2 x ln x e 1 1 1 (1, ??) (0, ) ( ,1) e e e
+ 单调增 0 — — 单调减

f ' ( x)
f ( x)

极大值 f ( )

1 e

单调减

所以的单调增区间为,单调减区间为 (3) 在 2 ? x 两边取对数,得
a 1 x

1 a 1 ln 2 ? a ln x 由于 0 ? x ? 1 所以 ? x ln 2 x ln x 1 e

① 由(1)的结果知,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? f ( ) ? ?e 。为使①式对所 有 x ? (0,1) 成立,当且仅当

a ? ?e 即 a ? ?e ln 2 ln 2

规律小结:在利用不等式求参数取值范围时,通常要构造一个新的函数 g ( x) ,若类似于

a ? g ( x) ,则只要研究 a ? g ( x)max ;若类似于 a ? g ( x) ,则只要研究 a ? g ( x)min
类型 4:与方程有关的类型
2 例 4 : 已 知 函 数 f ( x) ? x ? b 的 图 象 与 函 数 g ( x) ? x ? 3x ? 2 的 图 象 相 切 , 记

F ( x) ? f ( x) g ( x) . (Ⅰ)求实数 b 的值及函数 F ( x ) 的极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 F ( x) ? k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范围.
2 思路分析:首先由 f ( x) ? x ? b 是 g ( x) ? x ? 3x ? 2 的切线,利用导数的几何意义求出

b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数 y ? F ( x) 与 y ? k 的图像,利用数形结合的 思想求解. 解:(1)依题意,令 f ?( x) ? g ?( x), 得1 ? 2 x ? 3, 故x ? ?1. ∴ 函 数 f ( x ) 的 图 象 与 函 数 g ( x) 的 图 象 的 切 点 为 (?1,0). , 将 切 点 坐 标 代 入 函 数

f ( x) ? x ? b 可得
即b

2 b ? 1 .或:依题意得方程 f ( x) ? g ( x) , 即 x ? 2 x ? 2 ? b ? 0 有唯一实

数解, 故 ? ? 2 2 ? 4(2 ? b) ? 0

? 1 ? F ( x) ? ( x ? 1)(x 2 ? 3x ? 2) ? x 3 ? 4x 2 ? 5x ? 2 ,
2 2

故 F ?( x) ? 3 x ? 8 x ? 5 ? 3( x ? 1)( x ? ) ,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ? ? 列表如下 :

5 3

5 . 3

x
F ?( x) F ( x)

5 ( ?? ,? ) 3 ?
递增

?

5 3 0

5 ( ? ,?1) 3
递减

?1
0
极小值 0

(?1,??)

?
递增

极大值

4 27

4 5 处取得极大值 ,在 x ? ?1 处取得极小值. 27 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数 y ? F ( x) 大致图象如下图所示.作函数 y ? k 的 图象,当 y ? F ( x) 的图象与函数 y ? k 的图象有三个交点时, 关 5 于 x 的方程 F ( x) ? k 恰有三个不 -1 3 4 ). 等的实数根.结合图形可知: k ? (0, 27
从上表可知 F ( x) 在 x ? ? 练习: 1. 已知 y ?

y
y=F(x) y=k O 4 27

x

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 ___ 3

2. 设 f ( x) ? ax3 ? x 恰有三个单调区间,则 a 的范围是 ______

3. 已知 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c ,若对 x ?? ?1, 2? ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取 2

值范围

4.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x .
3 2

(1)若 f ( x) 在 x ?[1,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 x ?[1,a]上的最小值和最大值.


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