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广州市2012-2013学年第二学期期末教学质量检测高一数学试题参考答案及评分标准


2012-2013 学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法 供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评 分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,

可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

A

D

B

D

C

B

C

A

D

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 1 12. 2 2 13. - 3 14.②③

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (1,0), b ? (2,1). (1)求 | a ? 3b | ; (2)当 k 为何实数时, ka ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? (本小题主要考查向量的基本概念和性质,考查向量的坐标运算的能力等) 解:(1) a ? 3b ? (1,0) ? 3(2,1) ? (7,3) ∴ | a ? 3b | = ………………………………………..2 分 . ………………………………………..4 分 ………………………………..6 分 ………………….8 分

7 2 ? 32 = 58

(2) ka ? b ? k (1,0) ? (2,1) ? (k ? 2, ?1)

设 ka ? b ? ? (a ? 3b) ,则 (k ? 2, ?1) ? ? (7,3) ∴?

?k ? 2 ? 7 ? ? ? 1 ? 3?
1 3

………………………………………………………10 分

解得 k ? ? ? ?

.……………………………………………………….11 分

故 k ? ? 时, ka ? b 与 a ? 3b 反向平行…………………………………….12 分

1 3

高一数学参考答案及评分标准

第 1 页 共 6 页

16. (本小题满分 12 分) 在假期社会实践活动中,小明参观了某博物馆.该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,他 在点 A 处看这幅壁画顶端点 C 的仰角为 45? ,往正前方走 4m 后, 在点 B 处看壁画顶端点 C 的 仰角为 75? (如图所示). (1) 求 BC 的长; (2) 若小明身高为 1.70m ,求这幅壁画顶端点 C 离地 面的高度(精确到 0.01m ,其中 3 ? 1.732 ).

(本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理的应用.本小题满分 12 分) 解:(1)在 ?ABC 中,

??CAB ? 45? , ?DBC ? 75? ,??ACB ? 75? ? 45? ? 30? …2 分
由正弦定理, 得

BC AB ? , ………………………………4 分 ? sin 45 sin 30?

将 AB = 4 代入上式,得 BC ? 4 2 ( m ………………………6 分 (2)在 ?CBD 中,

??CBD ? 75? , BC ? 4 2,? DC ? 4 2 sin 75? ...…………8 分
因为 sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ? sin 45? cos30? ? cos45? sin 30? , 所以 sin 75? ?

6? 2 , 4

……………………………………………9 分

则 DC ? 2 ? 2 3 ,

….……………………………………………..10 分

所以 CE ? CD ? DE ? 2 ? 2 3 ? 1.70 ? 3.70 ? 3.464 ? 7.16 ( m ).….……….11 分 答: BC 的长为 4 2m ;壁画顶端点 C 离地面的高度为 7.16m . ………12 分

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第 2 页 共 6 页

17. (本小题满分 14 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,已知 a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8 ,

S10 ? 55 .
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)求 Sn 与 Tn . (本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式,考查运算求解能力. ) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 由 S10 ? 55 ,得 10a1 ? 45d ? 55 , ……………………………………………………….2 分

又 a1 ? 1 ,所以 10 ? 45d ? 55, d ?1. ………………………………………………………….3 分

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? n. ………………………………………………………….5 分
由 b4 ? 8 ,得 b1 ? 3 ? 8 , q 又 b1 ? 1 ,所以 q3 ? 8, q ? 2. …………………………………………………….…….…6 分 …………………………………………………….…….…8 分

?bn ? b1 ? n?1 ? 2n?1. …………………………………………………………………….…….10 分 2
(2) S n ?

(a1 ? an )n (1 ? n)n 1 2 1 ? ? n ? n. 2 2 2 2

……………………………………….12 分

a1 (1 ? q n ) (1 ? 2n ) Tn ? ? ? 2n ? 1. 1? q 1? 2
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1. (1)求 f (x) 的最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递增区间; (3)求 f (x) 在 [0,

……………………………………………14 分

?
2

] 上的最值及取最值时 x 的值.

(本小题主要考查三角函数的基本性质、三角恒等变换等知识,考查化归与转化的数学思想方 法,以及运算求解能力) 解: (1)因为 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? 1 ? cos2x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2
? 2 sin( 2 x ?

……………………1 分 ……………………………2 分

?
6

) ? 2,

…………………………………3 分 第 3 页 共 6 页

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所以 f (x) 的最小正周期 T ? (2)因为 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由 2 k? ? 得 k? ?

?

2? ? ?. 2 6 ) ? 2, ( k ? Z) ,

……………………………………..4 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

……………….…………6 分

?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z)

………………………………………………..7 分

所以 f (x) 的单调增区间是 [ k? ? (3)因为 0 ? x ? 所以 ?

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z). 5? . 6

……..……………..8 分 ……..………...………....9 分

?
2

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 2 6

……..………...………...……..………...…….10 分 ……...………...……..………...…12 分 ……..………...13 分 ……..………...……...14 分

所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 2x ? 当 2x ?

?

?
?
6

?? ?

?
6

6

) ? 2 ? [1,4].

, 即 x ? 0 时, f (x) 取得最小值 1.

?
2

6

,即x ?

?
3

时, f (x) 取得最大值 4.

19. (本小题满分 14 分)

?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? 在平面直角坐标系中,点 P( x, y) 满足约束条件: ? x ? 7 y ? 11 ? 0 . ? 4 x ? y ? 10 ? 0 ?
(1)在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点) ;

y?7 ,求 u 的取值范围; x?4 ???? ??? ? ? OP 的最大值. (3)已知两点 M (2,1), O(0,0) ,求 OM ?
(2)设 u ? (本小题主要考查线性规划,直线的斜率, 向量的坐标运算等基础知识与基本技能,考查用数形 结合的思想方法解决综合问题的能力. )

解: (1)由 ?

?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? x=4 得? ,? A(4,1) . ...............................................1 分 ? x ? 7 y ? 11 ? 0 ? y =1
.........................................2 分

由?

?7 x ? 5 y ? 23=0 ? x= ? 1 得? ,? B(?1, ?6) . ?4 x ? y +10=0 ? y= ? 6 ?4 x ? y ? 10 ? 0 ? x= ? 3 得? ,? C (?3, 2) . ? x ? 7 y ? 11 ? 0 ? y =2
画出可行域 N ,如右下图所示.

由?

..........................................3 分

..................................................................4 分 第 4 页 共 6 页

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(2) u ?

y ? (?7) ? kDP .……………………………………………………….. .……5 分 x ? (?4) 1 当直线 DP 与直线 DB 重合时,倾斜角最小且为锐角,此时 k DB ? ; …………6 分 3 当直线 DP 与直线 DC 重合时,倾斜角最大且为锐角,此时 kDC ? 9 ; ………..7 分
所以 u ?

(3) OM ? OP ? (2,1) ? ( x, y) ? 2x ? y ,……………………………………....…..10 分 设 z ? 2 x ? y ,则 y ? ?2 x ? z , ……………………………………………..…11 分 ………………………………………12 分 ………………………………13 分 ………………………………………….14 分

???? ??? ? ?

y?7 ?1 ? 的取值范围为 ? ,9 ? x?4 ?3 ?

.………………………………………………8 分

z 表示直线 y ? ?2 x ? z 在 y 轴上的截距,
这时 z 的最大值为 zmax ? 2 ? 4 ? 1 ? 9 20. (本小题满分 14 分) .

当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 A 时, z 取到最大值,

数列 ?a n ?满足: a1 ? 2,a2 ? 3,Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1(n ? 2, n ?N? ) . S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和. (1)求证:数列 ?a n ?为等差数列; (2)设 bn ? 2n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (3) cn ? 4 ? (?1) 设
n n?1
* , 使得对任意 n ? N , ? ? 2a ( ? 为非零整数,n ? N* ) 试确定 ? 的值,
n

有 cn?1 ? cn 恒成立. (本小题主要考查等差数列、等比数列及前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、 高一数学参考答案及评分标准 第 5 页 共 6 页

分类讨论的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力. ) 解: (1)由 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1(n ? 2, n ?N? ) ,得 , ? Sn?1 ? Sn ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? 1( n ? 2 , n ? N* ) 即 an?1 ? an ? 1 ( n ? 2 , n ? N ) ,且 a2 ? a1 ? 1 .
*

……………1 分 ……………………2 分 …………………3 分

∴数列 ?a n ?是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.

(2)由(1)知 an ? n ? 1.……………………………………………………………4 分 所以 bn ? (n ? 1) ? 2n ,

Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n , 2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 ,
两式相减得

?Tn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? 24 ? ?? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 ………………………………6 分
22 (1 ? 2n?1 ) ? 4? ? (n ? 1) ? 2n ?1? ?n ? 2n ?1 1? 2
所以 Tn ? n ? 2n?1 . ……………………………………………………………8 分

(3)? an ? n ? 1,?cn ? 4n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 , 要使 cn?1 ? cn 恒成立 ,只要 cn?1 ? cn ? 4n?1 ? 4n ? (?1)n ? ? 2n?2 ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 ? 0 恒成立,
n 即 3 ? 4 ? 3? ? ? ?1? n ?1

2n ?1 ? 0 恒成立,

即 ? ?1?

n ?1

? ? 2n ?1 恒成立. …………………………………………………9 分
n ?1

当 n 为奇数时,即 ? ? 2

恒成立 …………………………………………10 分

n?1 当且仅当 n ? 1 时, 2 有最小值为 1,∴ ? ? 1 . ………………………11 分

n ?1 当 n 为偶数时,即 ? ? ?2 恒成立…………………………………………12 分

当且仅当 n ? 2 时, ?2

n?1

有最大值 ?2 ,∴ ? ? ?2 .……………………13 分 ……………………………14 分

即 ?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1

* 综上所述,存在 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N ,都有 cn?1 ? cn . ………14 分

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第 6 页 共 6 页


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