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四川省宜宾市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)

时间:2016-07-25


四川省宜宾市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”的逆命题是() 2 2 2 2 A.“若 x<a +b ,则 x<2ab” B. “若 x>a +b ,则 x≥2ab” 2 2 2 2 C. “若 x>2ab,则 x>a +b ” D.“若 x≥a +b ,则 x<2ab”
2 2

2. (5 分)与向量 =(1,﹣3,2)垂直的一个向量的坐标为() A.(1,3,2) 2) B.(﹣1,﹣3,2) C.(﹣2,﹣2,﹣2) D. (1, ﹣3, ﹣

3. (5 分)投球 3 次,事件 A1 表示“投中 i 次”,其中 i=0,1,2,3.那么 A=A1∪A2∪A3 表示的是() A.全部投中 B. 必然投中 C. 至少有 1 次投中 D.投中 3 次 4. (5 分)如图所示的程序框图,输出的 S 的值为()

A.12

B.20

C.30

D.40

5. (5 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.对于命题 p:?x∈R 使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0. 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件. 2 2 C. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”. D.命题“若 x+y≠5,则 x≠2 或 y≠3”是假命题. 6. (5 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,且 n?β,则下列叙述正 确的是() A.m∥n,m?α?α∥β B. m∥n,m⊥α?α⊥β C. α⊥β,m⊥n?n∥α D.α∥β,m?α?m∥n

7. (5 分)如图,在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角()

A.

B.

C.
2

D.

8. (5 分) 在区间上随机地取一个实数 a, 使得二次方程 x +2ax﹣2a+3=0 有实根的概率是 () A. B. C. D.

9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的 体积为()

A.

B.(4+π)

C.

D.

10. (5 分)把一个底面边长和高都为 6 的正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂 线,垂足是底面的中心的三棱锥)P﹣ABC 的底面 ABC 放置在平面 α 上,现让三棱锥绕棱 BC 逆时针方向旋转,使侧面 PBC 落在 α 内,则在旋转过程中正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的 正投影图的面积取值范围是()

A.

B.

C.

D.

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. (5 分)某班有男生 25 名,女生 20 名,采用分层抽样的方法从这 45 名学生中抽取一个 容量为 18 的样本,则应抽取的女生人数为名. 12. (5 分)如图,圆锥 SO 中,AB、CD 为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且 AB⊥CD, SO=OB=2,P 为 SB 的中点.异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为.

13. (5 分)某校为了解数学学科的教学情况,在一次考试中随机地抽取了 100 个同学的成 绩(满分为 100 分)作为样本,并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图,估 计这次数学考试成绩的中位数为.

14. (5 分)已知命题 p:?x∈,a≤e ,命题 q:?x∈R,x +x+a>0,若命题 p∧q 是真命题, 则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下命题: ①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°; ②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1+ ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点,则直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是; ④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ=1,则四面体 PQB1D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有. (填写所有正确命题的序号) .

x

2

三、解答题(共 6 个题,共 75 分,要求写出解答过程)

16. (12 分) 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中, AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, 点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)求证:AC⊥PB.

17. (12 分)每年暑期,学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料,如图 所示的茎叶图中记录了暑期中甲组 3 名同学去图书馆 A 查阅资料的次数和乙组 4 名同学去 图书馆 B 查阅资料的次数.且乙组同学去图书馆 B 查阅资料次数的平均数是 9.25. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)在茎叶图中,从查阅资料次数大于 8 的同学中任选 2 名, 求选出的 2 名同学查阅资料的次数之和大于 20 的概率.

18. (12 分)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 . (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,两家商场对购买该商品的顾客奖 励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 20°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场: 从装有 3 个白球 2 个红球 1 个黄球的盒子中一次性随机地摸出 2 个球, 如果摸到的 是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

2

2

20. (13 分)已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA=1, PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅱ)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD?若存在,求出 存 在,请说明理由. 的值;若不

21. (14 分)在如图所示的几何体中,平面 ACE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边 形,∠ACB=90°,EF∥BC,AC=BC=2EF=2,AE=EC= . (Ⅰ)求证: AE⊥EF; (Ⅱ)求平面 ABF 与平面 BDE 所成的锐二面角的正切值; (Ⅲ)若点 G 在线段 DE 上,求直线 CG 与平面 ABF 所成的角的正弦值的取值范围;并求 该正弦值取最大值时,多面体 ABCDFG 的体积.

四川省宜宾市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 2 2 1. (5 分)命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”的逆命题是() 2 2 2 2 A.“若 x<a +b ,则 x<2ab” B. “若 x>a +b ,则 x≥2ab” 2 2 2 2 C. “若 x>2ab,则 x>a +b ” D.“若 x≥a +b ,则 x<2ab” 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑.

分析: 将命题的题设和结论进行互换,从而得到命题的逆命题. 解答: 解:命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”的逆命题是: 2 2 若 x>2ab,则 x>a +b , 故选:C. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题.
2 2

2. (5 分)与向量 =(1,﹣3,2)垂直的一个向量的坐标为() A.(1,3,2) 2) B.(﹣1,﹣3,2) C.(﹣ 2,﹣2,﹣2) D. (1, ﹣3, ﹣

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设与向量 =(1,﹣3,2)垂直的一个向量 =(x,y,z) ,可得 经过验证即可得出. 解答: 解:设与向量 =(1,﹣3,2)垂直的一个向量 =(x,y,z) , ∴ =x﹣3y+2z=0, =x﹣3y+2z=0,

经过验证:只有(﹣2,﹣2,﹣2)满足, 故选:C. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 3. (5 分)投球 3 次,事件 A1 表示“投中 i 次”,其中 i=0,1,2,3.那么 A=A1∪A2∪A3 表示的是() A.全部投中 B. 必然投中 C. 至少有 1 次投中 D.投中 3 次 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意可得,事件 A1、A2、A3,是彼此互斥的事件,且 A0∪A1∪A2∪A3 为必然 事件,A=A1∪A2∪A3 表示的是投球三次至少击中一次,从而得到答案. 解答: 解:由题意可得,事件 A1、A2、A3,是彼此互斥的事件,且 A0∪A1∪A2∪A3 为 必然事件, A=A1∪A2∪A3 表示的是投球三次至少击中一次, 故选:C. 点评: 本题主要考查互斥事件和必然事件,并事件的定义,属于基础题. 4. (5 分)如图所示的程序框图,输出的 S 的值为()

A.12

B.20

C.30

D.40

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=5 时,不满足条件 i<5, 退出循环,输出 S 的值为 20. 解答: 解:执行程序框图,可得 i=1,S=0 满足条件 i<5,S=2,i=2 满足条件 i<5,S=6,i=3 满足条件 i<5,S=12,i=4 满足条件 i<5,S=20,i=5 不满足条件 i<5,退出循环,输出 S 的值为 20. 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环 S 的值是解题的关键,属于 基础题. 5. (5 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.对于命题 p:?x∈R 使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0. 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件. 2 2 C. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”. D.命题“若 x+y≠5,则 x≠2 或 y≠3”是假命题. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 运用特殊值判断出错误命题, 解答: 解:∵若 x+y≠5,则 x≠2,y=3,或 x=2,y≠3,也有可能, ∴命题“若 x+y≠5,则 x≠2 或 y≠3”是假命题 故选:D 点评: 本题考查了命题的判断,融合了充分必要条件的定义,逻辑连接词等问题. 6. (5 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,且 n?β,则下列叙述正 确的是()

A.m∥n,m?α?α∥β D.α∥β,m?α?m∥n

B.

m∥n,m⊥α?α⊥β

C. α⊥β,m⊥n?n∥α

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理分别分析解答. 解答: 解:对于 A,m∥n,m?α,n?β,?α 与 β 可能相交;故 A 错误; 对于 B,m∥n,m⊥α?n⊥α,又 n?β,?α⊥β;故 B 正确; 对于 C,n?β,α⊥β,m⊥n?n 与 α 可能相交;故 C 错误; 对于 D,n?β,α∥β,m?α?m∥n 或者异面;故 D 错误; 故选 B. 点评: 本题考查了面面平行、 面面垂直的判定定理和性质定理, 熟练运用相关的定理是关 键. 7. (5 分)如图,在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角. 解答: 解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 则 A(1,0,0) ,B1(1,1,1) , C(0,1,0) ,D(0,0,0) , =(0,1,1) , =(0,1,0) , 设平面 A1B1CD 的法向量 =(x,y,z) , =(1,1,1) ,





取 x=1,得 =(1,0,﹣1) , 设直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角为 θ, sinθ=|cos< ∴ . >|=| |= ,

故选:A.

点评: 本题考查直线与平面所成角的大小的求法, 是中档题, 解题时要注意向量法的合理 运用. 8. (5 分) 在区间上随机地取一个实数 a, 使得二次方程 x +2ax﹣2a+3=0 有实根的概率是 () A. B. C. D.
2

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出二次方程 x +2ax﹣2a+3=0 有实根时,a 的范围,以长度为测度,即可求出概 率. 2 解答: 解:∵二次方程 x +2ax﹣2a+3=0 有实根, 2 ∴△=4a +8a﹣12≥0, ∴﹣3≤a≤1,其长度为 4, ∵在区间上随机地取一个实数 a,其长度为 7, ∴所求概率为 , 故选:D.
2

点评: 本题考查几何概型,考查学生的计算能力,确定二次方程 x +2ax﹣2a+3=0 有实根 时,a 的范围是关键. 9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的 体积为()

2

A.

B.(4+π)

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体是一个组合体, 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, 圆柱的底面直 径和母线长都是 2,四棱锥的底面是一个边长 是 2 的正方形,做出圆锥的高,根据圆锥和圆 柱的体积公式得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个组合体, 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, 圆柱的底面直径和母线长都是 2, 四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形, 四棱锥的高与圆锥的高相同,高是 ∴几何体的体积是 = , = ,

故选 D. 点评: 本题考查由三视图求组合体的体积, 考查由三视图还原直观图, 本题的三视图比较 特殊,不容易看出直观图,需要仔细观察. 10. (5 分)把一个底面边长和高都为 6 的正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂 线,垂足是底面的中心的三棱锥)P﹣ABC 的底面 ABC 放置在平面 α 上,现让三棱锥绕棱 BC 逆时针方向旋转,使侧面 PBC 落在 α 内,则在旋转过程中正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的 正投影图的面积取值范围是()

A.

B.

C.

D.

考点: 棱锥的结构特征;平面图形的直观图. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,面 PBC⊥面 α,正投影图的面积最小,求出正投影图的面积最大值,即 可得出结论. 解答: 解:如图 1 所示,当平面 PBC⊥平面 α 时正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投影图的 面积最小, 此时 PP′=6,P′D= ,PD= , 所以 cos∠PDP′= , ,

当面 PBC⊥面 α,cos∠ADA′= 所以 A′D=3 所以 S△ A′BC= × = , =



如图 2 所示,当平面 ABC 在平面 α 内时正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投影图的面积最大, 此时投影图的面积=S△ ABC+S△ P′BC, 因为 S△ ABC= =9 ,S△ P′BC= P′D×BC= × ×6=3 ,

∴投影图的面积=S△ ABC+S△ P′BC=9 +3 =12 所以在旋转过程中正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投影图的面积取值范围是.

故选:A. 点评: 本题考查图形的旋转,考查面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)某班有男生 25 名,女生 20 名,采用分层抽样的方法从这 45 名学生中抽取一个 容量为 18 的样本,则应抽取的女生人数为 8 名. 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出抽取样本的比例是多少,再计算应抽取的女生人数.

解答: 解:根据题意,抽取样本的比例是 ∴应抽取的女生人数为 20× =8.

= ,

故答案为:8. 点评: 本题考查了分层抽样方法的应用问题,是基础题目. 12. (5 分)如图,圆锥 SO 中,AB、CD 为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且 AB⊥CD, SO=OB=2,P 为 SB 的中点.异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为 .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 由于 SA 与 PD 是异面直线,所以需要平移为相交直线才可以找到异面直线 SA 与 PD 所成角,因此连接 OP 在利用中位线可达到这一目的. 解答: 解:连接 OP 则 OP SA,故∠OPD 即为 SA 与 PD 的夹角.

∵SO=OB=2∴SA= ∴OP= 又在△ PCD 中 PO⊥CD∴在 Rt△ POD 中 OD=2,OP= ∴tan<SA,PD>= 故答案为: =

点评: 此题关键是构造出△ PCD 并且利用圆锥的对称性得到△ PCD 为直角三角形进而求 解. 13. (5 分)某校为了解数学学科的教学情况,在一次考试中随机地抽取了 10 0 个同学的成 绩(满分为 100 分)作为样本,并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图,估 计这次数学考试成绩的中位数为 68.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图中,中位数的两边频率相等,由此求出中位数的值. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 0.01×10+0.02×10=0.3<0.5, 0.3+0.025×10=0.55>0.5, 令 0.3+0.025x=0.5, 解得 x=8, ∴这次数学考试成绩的中位数为 60+8=68. 故答案为:68. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题, 也考查了中位数的计算问题, 是基础题目. 14. (5 分)已知命题 p:?x∈,a≤e ,命题 q:?x∈R,x +x+a>0,若命题 p∧q 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 <a≤e.
x 2

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. x 2 分析: 本题的关键是给出命题 p:?x∈,a≤e ,命题 q:?x∈R,x +x+a>0,为真时 a 的取 值范围. x 解答: 解∵命题 p:?x∈,a≤e x ∴若 p 为真,那么 a≤(e )max ∴a≤e 又∵命题 q:?x∈R,x +x+a>0, ∴若 q 为真,那么△ =1﹣4a<0 ∴ ∵命题 p∧q 是真命题 ∴p 真,q 真 综上,实数 a 的取值范围是: <a≤e 故答案为: <a≤e 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假判定, 解决的办法是先判断组成复合命题的简 单命题的真假,再根据真值表进行判断.
2

15. (5 分)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下命题: ①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°; ②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1+ ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点,则直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是; ④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ=1,则四面体 PQB1D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有①③④. (填写所有正确命题的序号) .

考点: 棱柱的结构特征;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;简易逻辑. 分析: ①先证明 A1B 与 A1D 所成角为 60°,又 B1C∥A1D,可得直线 A1B 与 B1C 所成的 角为 60°,判断①正确; ②将面 AB1 与面 A1C1 展开,那么动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 判 断②错误; ③由平面 BDC1⊥平面 ACC1,结合线面角的定义分别求出直线 CN 与平面 BDC1 所成角的 正弦值最大值与最小值判断③正确; ④在 PQ 变化过程中,四面体 PQB1D1 的顶点 D1 到底面 B1PQ 的距离不变,底面积不变, 则体积不变,求出体积判断④正确. 解答: 解:①在△ A1BD 中,每条边都是 60°, ,即为等边三角形,∴A1B 与 A1D 所成角为

又 B1C∥A1D,∴直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°,正确; ②将面 AB1 与面 A1C1 展开, 那么动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 AC1, AC1= ,错误; ③如图, 由正方体可得平面 BDC1⊥平面 ACC1, 当 N 点位于 AC1 上, 且使 CN⊥平面 BDC1 时,直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值最大为 1, 当 N 与 C1 重合时,连接 CN 交平面 BDC1 所得斜线最长,直线 CN 与平面 BDC1 所成角的 正弦值最小等于 ,

∴直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是,正确;

④连接 B1P, B1Q, 设 D1 到平面 B1AC 的距离为 h, 则 h= 则四面体 PQB1D1 的体积 V=

, B1 到直线 AC 的距离为 ,正确.



∴正确的命题是①③④. 故答案为:①③④ 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用, 考查了空间点线面的位置关系, 考查了空间想 象能力和思维能力,是中档题. 三、解答题(共 6 个题,共 75 分,要求写出解答过程) 16. (12 分) 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中, AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, 点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)求证:AC⊥PB.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 欲证 PB∥面 AEC, 根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 PB 与面 AEC 内一直线平行即可,连接 BD 交 AC 于点 O,并连接 EO,根据中位线可知 EO∥PB,PB? 面 AEC,EO?面 AEC 满足定理所需条件. (Ⅱ)欲证 AC⊥PB,可先证 AC⊥面 PAB,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AC 与面 PAB 内两相交直线垂直,根据 PA⊥面 ABCD,AC?面 ABCD,可得 PA⊥AC,又 因 AB⊥AC,PA∩AC=A,PA?面 PAB,AB?面 PAB,满足定理所需条件; 解答: 证明: (Ⅰ)连接 BD 交 AC 于点 O,并连接 EO, ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴O 为 BD 的中点又∵E 为 PD 的中点, ∴在△ PDB 中 EO 为中位线,EO∥PB, ∵PB?面 AEC,EO?面 AEC∴PB∥面 AEC. (Ⅱ)∵PA⊥面 ABCD,AC?面 ABCD,∴PA⊥AC, 又∵AB⊥AC,PA∩AC=A,PA?面 PAB,AB?面 PAB, ∴AC⊥面 PAB, ∴AC⊥PB.

点评: 本题考查了空间两直线的位置关系, 以及直线与平面平行的判定等有关知识, 考查 学生空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题. 17. (12 分)每年暑期,学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料,如图 所示的茎叶图中记录了暑期中甲组 3 名同学去图书馆 A 查阅资料的次数和乙组 4 名同学去 图书馆 B 查阅资料的次数.且乙组同学去图书馆 B 查阅资料次数的平均数是 9.25. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)在茎叶图中,从查阅资料次数大于 8 的同学中任选 2 名, 求选出的 2 名同学查阅资料的次数之 和大于 20 的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)直接利用平均数定义求出 x 值 (2) 用列举法列举所有的基本事件有 10 个, 满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习 的次数和大于 20 的基本事件有 7 个,根据古典概型概率计算公式求得结果. 解答: 解: ( I)在茎叶图中, (x+8+9+12)=9.25,解得 x=8, ( II)茎叶图中,查阅资料次数大于 8 的同学共 5 人,设其中查阅资料次数为 9 的二个同 学分别为 a,b,查阅资料次数为 11 的同学为 c,查阅资料次数为 12 的二个同学分别为 d, e,从中任选两人的结果共 10 种:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 其中查阅资料的次数之和大于 20(记为事件 A )的结果共有 7 个:ad,ae,bd,be, cd, ce,de ∴P(A)= .

点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,茎叶图的应用,属于基础题. 18. (12 分)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 . (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2 2

考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)现将 a=1 代入命题 p,然后解出 p 和 q,又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真,求 解实数 a 的取值范围; (2) 先由¬p 是¬q 的充分不必要条件得到 q 是 p 的充分不必要条件, 然后化简命题,求解实数 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时,p:{x|1<x<3},q:{x|2<x≤3},又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真, 由 得 2<x<3,所以实数 x 的取值范围为(2,3)

(2)因为¬p 是¬q 的充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件,

又 p:{x|a<x<3a}(a>0) ,q:{x|2<x≤3},所以

解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是(1,2] 点评: 充要条件要抓住“大能推小,小不能推大”规律去推导. 19. (12 分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,两家商场对购买该商品的顾客奖 励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 20°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场: 从装有 3 个白球 2 个红球 1 个黄球的盒子中一次性随机地摸出 2 个球, 如果摸到的 是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 分别计算两种方案中奖的概率.先记出事件,得到试验发生包含的所有事件,和符 合条件的事件,由等可能事件的概率公 式得到. 解答: 解:设甲、乙商场中奖的事件分别为 A,B,则 P(A)= = ,…(4 分)

对乙商场:设三个白球分别为 a,b,c、黄球为 d、二个红球分别为 x,y,从盒中随机地摸 出 2 个球的结果共 15 种: ab,ac,ad,ax,ay,bc,bd,bx,by,cd,cx,xy,dx,dy,xy …(8 分) 其中是 2 个红球的结果共 1 种,P(B)= …(10 分)

∴P(A)>P(B) ,即在购买该商品的顾客在甲商场中奖的可能性大.…(12 分) 点评: 本题考查等可能事件的概率计算,关键是正确列举事件的全部情况.

20. (13 分)已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA=1, PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅱ)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD?若存在,求出 存在,请说明理由. 的值;若不

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz,分别求出直线 AC 与平面 PCD 的 法向量,然后根据两个向量的数量积公式,求出直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅱ)求出平面 PFD 的法向量,及 EG 的方向向量,进而根据线面平行,则两个垂直数量 积为 0,构造方程求出 tG 点位置,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间 直角坐标系 A﹣xyz,则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) , C(1,2,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,1) , 设平面 PCD 的法向量为 =(a,b,c) ,则, ∵ ∴ =(1,2,﹣1) , , =(0,2,﹣1) ,

∴ =(0,1,2) , ∵ =(1,2,0) , = . (6 分)

∴直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值为 (Ⅱ)设平面 PFD 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ∵ ∴ =(1,1,﹣1) , =(0,2,﹣1)

,得 =(1,1,2) . (8 分)

设 G 点坐标为(0,0,m) ,E( ,0,0) ,则 要使 EG∥平面 PFD,只需 得 m= ,从而

=(﹣ ,0,m) ,

? =0,即﹣ +2m=0,

=3. (12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,考查直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值的计 算,考查逻辑推理能力,考查向量法的运用,考查空间想象能力. 21. (14 分)在如图所示的几何体中,平面 ACE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边 形,∠ACB=90°,EF∥BC,AC=BC=2EF=2,AE=EC= . (Ⅰ)求证:AE⊥EF; (Ⅱ)求平面 ABF 与平面 BDE 所成的锐二面角的正切值; (Ⅲ)若点 G 在线段 DE 上,求直线 CG 与平面 ABF 所成的角的正弦值的取值范围;并求 该正弦值取最大值时,多面体 ABCDFG 的体积.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的 位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据线面垂直的性质证明 AE⊥平面 BCEF 即可证明 AE⊥EF; (Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求平面 ABF 与平面 BDE 所成 的锐二面角的正切值; (Ⅲ)确定直线 CG 与平面 ABF 所成的角的正弦值的取值范围,结合棱锥的体积公式进行 求解即可. 解答: 证明: (I)∵平面 ACE⊥平面 ABCD, 平面 ACE∩平面 ABCD=AC, BC?平面 ABCD,BC⊥AC ∴BC⊥平面 ACE,结合 AE?平面 ACE, 得 AE⊥BC, ∵△AEC 中,AE=EC= ,AC=2, 2 2 2 ∴AE +EC =2=AC ∴∠AEC=90°,即 AE⊥EC ∵BC∩EC=C,∴AE⊥平面 BCEF;

∵EF?平面 BCEF, ∴AE⊥EF (II)建立如图空间直角坐标系, ∵AC=BC=2EF=2,AE=EC= . 则 AD=2 , ∴则由题意得 A(0,0,0) ,B(2,﹣2,0) ,C(2,0,0) ,E(1,0,1) , D(0,2 ,0) , =(2,﹣2,0) , F(1,﹣1,1) , =(0,2,0) ,

=(﹣1,1,1) .

设平面 ABF 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,

令 x=1,则 y=1,z=0,即 =(1,1,0) , 设平面 BDE 的法向量为 =(x,y,z) , 则 由 =(0,2 ,0) , =(1,﹣2 , ,1) ,

,得

则 y=0,x=﹣z, 令 x=1,则 z=﹣1, 即 =(1,0,﹣1) , ∴cos< , >= = ,

即< , >=

, = , .

∴tan< , >=tan

即平面 A BF 与平面 BDE 所成的锐二面角的正切值为 (3)由(2)知平面 ABF 的法向量 =(1,1,0) , ∵点 G 在线段 DE, 则| |= ,| |=2 =(1,﹣2 ,| |= , ,1) ,

=(﹣2,2

,0) ,

则 cos< ,

>=

=



cos< ,

>=

=

=



则 sin< , sin< ,

>=|cos< , >=|cos< ,

>|=| >|= ,

|=



∴直线 CG 与平面 ABF 所成的角的正弦值的取值范围为 故当 G 位于点 D 时,正弦值取最大值, 取 AC 的中点 M, ∵AE=EC= , ∴EM⊥AC,EM=1,AC=2, 此时 E 到平面 ABCD 的距离 FM 到平面 ABCD 的距离, 则 SABCD=AD?AC=2×2=4, 则多面体 ABCDFG 的体积 V= SABCD?EM= = .

≤sinθ≤



点评: 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质定理以及利用向量法求解二面角的应用, 综合性较强,难度较大.


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