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八年级数学竞赛例题专题讲解1:整式的乘除附答案

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专题 01 阅读与思考 整式的乘除 指数运算律是整式乘除的基础,有以下 5 个公式: a ? a ? a m n m? n , (am )n ? amn , (ab)n ? a nbn , am ? an ? am?n (a ? 0) , a0 ? 1(a ? 0) , a ? p ? 学习指数运算律应注意: 1.运算律成立的条件; 1 (a ? 0) . ap 2

.运算律中字母的意义:既可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者多项式; 3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用. 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展, 方法与多位数除以多位数的演算方法相似, 基本步骤是: 1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位; 2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐; 3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止. 例题与求解 【例 1】 (1)若 n 为不等式 n 200 ? 6300 的解,则 n 的最小正整数的值为 . (“华罗庚杯”香港中学竞赛试题) (2)已知 x ? x ? 1 ,那么 x ? 2 x ? x ? 2 x ? 2005 ? 2 4 3 2 . (“华杯赛”试题) (3)把 ( x ? x ? 1) 展开后得 a12 x12 ? a11x11 ? ?? a2 x2 ? a1x ? a0 ,则 2 6 a12 ? a10 ? a8 ? a6 ? a4 ? a2 ? a0 ? . (“祖冲之杯”邀请赛试题) (4)若 x5 ? 3x4 ? 7 x3 ? 6x2 ? 2x ? 9 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)( x ? d )( x ? e) 则 ab ? ac ? ad ? ae ? bc ? bd ? be ? cd ? ce ? de ? . (创新杯训练试题) 解题思路:对于(1) ,从幂的乘方逆用入手;对于(2) ,目前无法求 x 值,可考虑高次多项式用低次 多项式表示;对于(3) ,它是一个恒等式,即在 x 允许取值范围内取任何一个值代入计算,故可考虑赋值 法;对于(4) ,可考虑比较系数法. 【例 2】已知 25 ? 2000 , 80 ? 2000 ,则 x y 1 1 ? 等于( x y D. ) A.2 B .1 C. 1 2 3 2 ( “希望杯”邀请赛试题) 解题思路: x , y 为指数,我们无法求出 x , y 的值,而 它们的关系,于是自然想到指数运算律. 1 1 x? y ,所以只需求出 x ? y , xy 的值或 ? ? x y xy 【例 3】设 a, b, c, d 都是正整数,并且 a5 ? b4 , c3 ? d 2 , c ? a ? 19 ,求 d ? b 的值. (江苏省竞赛试题) 解题思路:设 a5 ? b4 ? m20 , c3 ? d 2 ? n6 ,这样 a , b 可用 m 的式子表示, c, d 可用 n 的式子表示,通 过减少字母个数降低问题的难度. 【例 4】已知多项式 2 x ? 3xy ? 2 y ? x ? 8 y ? 6 ? ( x ? 2 y ? m)(2 x ? y ? n) ,求 2 2 m3 ? 1 的值. n2 ? 1 解题思路:等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应系数对应相等,从而可考虑用比较系数法. 【例 5】是否存在常数 p, q 使得 x4 ? px 2 ? q 能被 x ? 2 x ? 5 整除?如果存在,求出 p,