nbhkdz.com冰点文库

8.1空间几何体的结构、三视图、直观图


8.1 空间几何体的结构、三视图、直观图 2013?考纲下载 1. 能画出柱、 锥、 台、 球等简易组合体的三视图, 并能识别三视图所表示的立体模型. 会 用斜二测法画出它们的直观图. 2.了解平行投影与中心投影,了解空间图形的不同表示形式. 请注意! 从近三年的新课标高考试题来看,三视图已成为必考内容,应引起高度重视. 课本导读 1.棱柱的结构特征 (1)定义:有两个面 互相平

行 ,其余各面都是 四边形 公共边 都互相平行 . (2)性质:①侧棱长相等;②侧面都是平行四边形. 2.棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是 有一个公共顶点的三角形 些面围成的几何体叫做棱锥. (2)正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是 正多边形 底面中心 ,这样的棱锥叫做正棱锥. (3)正棱锥的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的 等腰三角形 它叫做正棱锥的 斜高 . ,各等腰三角形底边上的高相等, ,并且顶点在底面内的射影是 ,这 ,并且每相邻两个四边形的

②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱 在底面内的射影也组成一个直角三角形. 3.圆柱、圆锥、圆台的特征 分别以 矩形的一边 、 直角三角形的一直角边 、 直角梯形中垂直于底边的腰所

在的直线 为旋转轴, 其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、 圆台. 其中旋转轴叫做所围成的几何体的 轴 ; 在轴上的这条边叫做这个几何体的 高 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的 面叫做这个几何体的 侧面 4.棱台、圆台的特征 用平行于底面的平面去截 棱锥 5.几何体的三视图 . 图. 6.三视图的画法要求 正 视图、 侧 视图、 俯 视图. 又称为: 主 视图、 左 视图、 俯 视 、 圆锥 , 截面与底面间的部分叫棱台、 圆台. 底面 ;

;不垂直于轴的边旋转而成的曲

,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的 母线 .

(1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成 按 mm 计.

虚线

,单位不注明,则

(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前方 正上方



正左方



观察几何体画出的轮廊线.画三视图的基本要求是:“正俯一样长、正侧一样高、

俯侧一样宽”. (3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则. 7.平面图形的直观图画法 在斜二测画法中,平行于 x 轴的线段长度 半 . 教材回归 1.下列结论正确的是 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案 D 解析 A 错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都 是三角形,但它不一定是棱锥. 不变 ;平行于 y 轴的线段长度 减

B 错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所 得的几何体都不是圆锥.

C 错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以 正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. 2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可能 是 A.球 C.正方体 答案 D 解析 矩形与圆的形状,大小不可能相同. 3.三视图如图的几何体是 A.三棱锥 C.四棱台 B.四棱锥 D.三棱台 B.三棱锥 D.圆柱

答案 B 解析 几何体底面为四边形、侧面是三角形.

4.(2012· 广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.72π C.30π 答案 C

B.48π D.24π

解析 首先通过观察三视图判断出几何体的直观图, 然后按照体积公式进行计算. 此组 1 4 1 合体由半个球体与一个圆锥组成,其体积 V= × π×33+ π×32× 52-32=30π,故选 C. 2 3 3 5.(2011· 广东文)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A.20 C.12 答案 D 解析 如图, 在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中, 从顶点 A 出发的对角线有两条: AC1、 B.15 D.10

AD1,同理从 B、C、D、E 点出发的对角线也有两条,共 2×5=10 条. 考点一:空间几何体的几何特征 例 1 判断正误 ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. ⑤圆锥所有轴截面都是全等的等腰三角形; ⑥圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中,面积最大的一个. 其中真命题的序号是________. 【答案】 ①√ ②× ③× ④√ ⑤√ ⑥×

探究 1 深刻领会基本概念,熟练掌握基本题型的解法,是学好立体几何的关键,本课 涉及到的概念较多,应多看、多想、多做. 思考题 1 以下命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题为________. 【答案】 ②③ 考点二:几何体的三视图 例2 (1)画出如图所示几何体的三视图.

【答案】 三视图如下:

(2) (2010· 辽宁)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的 三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

【解析】

将几何体的三视图还原为直观图:四棱锥 P-ABCD,如图将直观图补成一个正方体, 显然最长的一条棱的长 PB,即为正方体的对角线长,易知正方体的棱长为 2,所以对角线 长为 2 3. 【答案】 2 3 探究 1 简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握: (1)搞清主视、左视、俯视的方向,同一物体由于放置的位置不同,所画的三视图可能 不同. (2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成. (3)画三视图时要遵循“长对正,高平齐,宽相等”的原则,还要注意几何体中与投影 垂直或平行的线段及面的位置关系. 思考题 2 (1)(2012· 陕西)将正方体(如图所示)截去两个三棱锥,得到如图所示的几 )

何体,则该几何体的左视图为(

【解析】 左视图中能够看到线段 AD1,画为实线,看不到线段 B1C,画为虚线,而且 AD1 与 B1C 不平行,投影为相交线,所以选择 B. 【答案】 B (2)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,A1A=AB=2,BC=1,AC= 5, 若规定主(正)视方向垂直平面 ACC1A1,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为

4 5 A. 5 C.4

B.2 5 D.2

【解析】 过 B 作 BD⊥AC 于 D,过点 B1 作 B1D1⊥A1C1 于 D1 连接 DD1,则三棱锥的 侧视图就是矩形 BDD1B1,且 BD= 所以,其面积为 S= 【答案】 A 考点三:几何体的直观图 例 3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形, 则原平面四边 形的面积等于 ( ) 2 ,BB1=2. 5

2 4 ×2= 5. 5 5

A. C.

2 2 a 4 2 2 a 2

B.2 2a2 2 2 2 D. a 3

【解析】 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知,在 x 轴上(或与 x 轴平行) 的线段,其长度保持不变;在 y 轴上(或与 y 轴平行)的线段,其长度变为原来的一半,且∠ x′O′y′=45° (或 135° ),所以,若设原平面图形的面积为 S,则其直观图的面积为 S′= 1 2 2 · · S= S.可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 2 2 4 2 a2 2 S,本题中直观图的面积为 a ,所以原平面四边形的面积 S= =2 2a2. 4 2 4 【答案】 B 探究 3 对于直观图,除了解斜二测画法的规则外,还要了解原图形面积 S 与其直观图 面积 S′之间的关系 S′= 2 S,能进行相关问题的计算. 4

思考题 3 如图所示,直观图四边形 A′B′C′D′是一个底角为 45° ,腰和上底均 为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是________.

【解析】 把直观图还原为平面图形得: 直角梯形 ABCD 中,AB=2, BC= 2+1,AD=1. 1 ∴面积为 (2+ 2)×2=2+ 2. 2

【答案】 2+ 2 考点四:多面体与球 例 4 在一个倒置的正三棱锥容器内, 放入一个钢球, 钢球恰好与棱锥的四个面都接触,

经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是

【解析】 正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有公共点,与棱无公共点. 【答案】 B 探究 4 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征, 发挥自己的空间想象能 力,把立体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中的数量关系,为了增加图形的直 观性,常常画一个截面圆作为衬托. 思考题 4 (2012· 辽宁)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球 面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________. 【解析】 先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥, 再利用正方体的性质解题. 如 图, 满足题意的正三棱锥 P-ABC 可以是正方体的一部分, 其外接球的直径是正方体的体对 角线,且面 ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点,所以球心到平面 ABC 的距 1 1 3 离等于体对角线长为 ,故球心到截面 ABC 的距离为 ×2 3= . 6 6 3

【答案】

3 3

本课总结 1.对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它 们的结构特点与平面几何知识来解决,这种题目难度不大. 2.在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视 图中,分界线和可见轮廊线都用实线画出,被挡住的轮廊线画成虚线.并做到“长对正、高 平齐、宽相等”. 3.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能够由空间几何体的直观图得到它 的三视图.提升空间想象能力. 自助餐 1.下列几何体的三视图中,恰好有两个视图相同的几何体是

A.球 C.圆锥 长方体 答案 C

B.正方体 D.长宽高互不相等的

2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是 A.圆柱 C.球体 的组合体 答案 C 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时, 截面分别为矩形和三角形, 只有球满足任意 截面都是圆面. 3.如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长 为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体

答案 B 解析 通过观察图形,三棱锥的主视图应为高为 4,底面边长为 3 的直角三角形. 4.某简单几何体的一条对角线长为 a,在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中,这 条对角线的投影都是长为 2的线段,则 a 等于 A. 2 C.1 答案 B 解析 可以把该几何体形象为一长方体 AC1,设 AC1=a,则由题意知 A1C1=AB1=BC1 = 2,设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z,则 x2+y2=2,y2+z2=2,z2+x2=2,三式 相加得 2(x2+y2+z2)=2a2=6. B. 3 D.2

∴a= 3.故选 B. 5.若已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,则原△ABC 的面 积为 A. C. 3 2 a 2 6 2 a 2 ( B. ) 3 2 a 4

D. 6a2

答案 C 解析 如图是△ABC 的平面直观图△A′B′C′.作 C′D′∥y′轴交 x′轴于 D′, 则 C′D′对应△ABC 的高 CD, 3 ∴CD=2C′D′=2· 2· C′O′=2 2· a= 6a. 2

1 6 而 AB=A′B′=a,∴S△ABC= · a· 6a= a2. 2 2 6. (2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是

答案 D 解析 若为 D 项,则主视图如图所示,故不可能是 D 项.


8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图练习题

8.1 空间几何体的结构三视图直观图练习题_数学_高中教育_教育专区。§8....若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ) 解析 由正视图...

8.1 空间几何体的结构三视图和直观图作业

8.1 空间几何体的结构三视图直观图作业_高考_高中教育_教育专区。2015年高考文科复习与PPT配套教案计时双基练(36) 一、选择题 空间几何体的结构、三视图和直观...

8.1空间几何体的结构、三视图、直观图

8.1 空间几何体的结构、三视图、直观图 2013?考纲下载 1. 能画出柱、 锥、 台、 球等简易组合体的三视图, 并能识别三视图所表示的立体模型. 会 用斜二测...

8.1空间几何体的结构、三视图和直观图

8.1 空间几何体的结构三视图直观图一、课前预习导读 1、考纲要求: ①认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征。 ②能画出简单空间图形(长方体、球...

8.1 空间几何体的结构三视图和直观图

8.1 空间几何体的结构三视图直观图_高考_高中教育_教育专区。2015年高考文科复习与PPT配套教案第一节 空间几何体的结构、三视图直观图 4 ● (1)正棱柱:侧...

8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

8.1 空间几何体的结构三视图直观图_高考_高中教育_教育专区。第八章 立体...3 2 B. 1 2 C.1 D.2 【答案】 A 【解析】 由三视图知该几何体为正...

8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

8.1 空间几何体的结构三视图直观图_理化生_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 8.1 空间几何体的结构三视图直观图_理化生_高中...

8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图

8.1空间几何体的结构及其三视图直观图_高二数学_数学_高中教育_教育专区。几何体的结构及其三视图直观 图 姓 名: 沈金鹏 数学学院 数学与应用数学 院、系...

8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 练出高分(含答案解析)

§ 8.1 空间几何体的结构三视图直观图 A组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 给出四个命题: ①...

8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图-学生

8.1 空间几何体的结构三视图直观图-学生_数学_高中教育_教育专区。§ 8.1 空间几何体的结构三视图直观图 1.几何体作为线面关系的载体,其结构特征是...