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第05讲-二次方程根的分布


高一上衔接课资料,王鹏兴整理

第五讲、二次方程根的分布
【复习要求】
1.掌握简单的二次函数根的分布; 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;

【复习重难点】
1. 掌握简单的二次函数根的分布;

【知识梳理】
设 方 程 ax ? bx ?

c ? 0 ? a ? 0 ? 的 不 等 两 根 为 x1 , x2 且 x1 ? x2 , 相 应 的 二 次 函 数 为
2

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下
面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分布 情况 两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0 ?

大致 图象

a?0

得出 结论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

大致 图象

a?0

得出 结论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?
? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

f ?0? ? 0

综合 结论 不讨 论a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

a ? f ?0? ? 0

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表二: (两根与 k 的大小比较)
分布 情况 两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

大致图 象

a?0

k

k

k

得出 结论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

大致图 象

a?0

得出结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综合结 论不讨 论a

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0

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表三: (根在区间上的分布)
分布 情况

两根都在

?m, n? 内

两根有且仅有一根在

?m, n? 内

一根在

?m, n? 内,另一根在 ? p, q ? 内,

(图象有两种情况,只画了一种)

m?n? p?q

大致 图象

a?0

得出 结论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n ? ? 0

? f ?m? ? 0 ? ? ? f ? n ? ? 0 或 ? f ? m? f ? n? ? 0 ? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

大致 图象

a?0

得出 结论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n ? ? 0

?f ? ?f ? ?f ?f ?

?m? ? 0 ? n ? ? 0 或 ? f ? m? f ? n? ? 0 ? ? ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? ?q? ? 0

综合 结论 不讨 论a ——————

f ?m? ? f ?n ? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?

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根 在 区 间 上 的 分 布 还 有 一 种 情 况 : 两 根 分 别 在 区 间 ?m, n ? 外 , 即 在 区 间 两 侧

x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下)需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ; ? f ? n? ? 0 ?

(2) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ?

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n ? 内有以下特殊情况: 若 f ? m ? ? 0 或 f ? n ? ? 0 ,则此时 f ? m ??f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了

1?

方程有一根为 m 或 n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 ?m, n ? 内,从而可以 求出参数的值。如方程 mx ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? 0 在区间 ?1, 3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所
2

以 mx ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? ? x ? 1?? mx ? 2 ? ,另一根为
2

2 2 2 ,由 1 ? ? 3 得 ? m ? 2 即为所 m m 3

求;

2? 方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n ? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数
的值, 然后再将参数的值带入方程, 求出相应的根, 检验根是否在给定的区间内, 如若不在, 舍去相应的参数。如方程 x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有且一根在区间 ? ?3, 0 ? 内,求 m 的取值范
2

围。 分析: ①由 f ? ?3??f ? 0 ? ? 0 即 ?14m ? 15 ?? m ? 3? ? 0 得出 ?3 ? m ? ? 即 16m ? 4 ? 2m ? 6 ? ? 0 得出 m ? ?1 或 m ?
2

15 ; ②由 ? ? 0 14

3 ,当 m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3, 0 ? ,即 2 3 3 m ? ?1满足题意;当 m ? 时,根 x ? 3 ? ? ?3, 0? ,故 m ? 不满足题意;综上分析,得 2 2 15 出 ?3 ? m ? ? 或 m ? ?1 14

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【典型例题】
例 1、 已知二次方程 ? 2m ? 1? x ? 2mx ? ? m ? 1? ? 0 有一正根和一负根, 求实数 m 的取值范
2

围。 解: 由

? 2m ? 1??f ? 0 ? ? 0
2



? 2m ? 1?? m ? 1 ? ?

0 从而得 ? ,

1 ? m ? 1 即为所求的范围。 2

例 2、已知方程 2 x ? ? m ? 1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。 解:由

??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ? m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ? ? ? ? ? m ? 1? m ? ?1 ? ? ? ?0 ? ? ?? 2?2 m?0 ? ? ? ? m?0 ? ? f ? 0? ? 0 ?
0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。
例 3、 已知二次函数 y ? ? m ? 2 ? x ? ? 2m ? 4 ? x ? ? 3m ? 3? 与 x 轴有两个交点, 一个大于 1,
2

一个小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由

? m ? 2 ??f ?1? ? 0
2



? m ? 2 ??? 2m ? 1? ? 0

? ?2 ? m ?

1 即为所求的范围。 2

例 4、已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取 值范围。 解:由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根,则 f ? 0 ??f ?1? ? 0 ? 4? 3m ? 1? ? 0 ?

1 ? m ? ? 即为所求范围。 3
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 ? 0,1? 内,由 ? ? 0 计算 检验,均不复合题意,计算量稍大) 例 5、已知方程 2 x ? ? m ? 1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由

??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ? m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ? ? ? ? ? m ? 1? m ? ?1 ? ? ? ?0 ? ? ?? 2?2 m?0 ? ? ? ? m?0 ? ? f ? 0? ? 0 ?
0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。
例 6、求实数 m 取值范围,使方程 2 x ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 有两实根,分别使得
2

(1)一个根大于 2,另一个根小于 2; (2)两根都在 ?2<x<4 内。

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答案: (1) m ?

1 3

(2) ?

19 ?m?7 5
2

例 7、已知抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1(m ? R), (1) m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点; (2)若关于 x 的方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2,
2

求 m 的取值范围; (3)如果抛物线与 x 轴相交于 A 、 B ,且与 y 轴交于点 C ,且 ?ABC 的面积为 2,求 m 的 值。 答案: (1) m ? 0且m ? 1 (2) m ? (0,1) ? (1, 2] (3) m ? 练习:

4 4 或 3 5

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