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高中数学:1.1.1《算法的概念》教案新人教版A必修3.doc

时间:2017-03-31


高一数学必修 3 导学案(教师版)
周次 课题 教学 目标 教学 重点 教学 难点 课前 准备 上课时间 1.1.1 算法的概念 月 周 日 课型 新授课

编号
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1.了解算法的含义,体会算法的思想;2.能够用自然语言叙述算法;3.掌握正确的算法应满足的要求; 4.会写出解线性方程(组)的算法. 1.通过实例体会算法思想,初步理解算法的含义; 2.解二元一次方程组、判断一个数为质数和用“二分法”求方程近似解的算法设计. 用自然语言描述算法. 多媒体课件

教学过程: 一、〖创设情境〗 引例 1:解二元一次方程组: ?

? x ? 2 y ? ?1 ?2 x ? y ? 1

① ②

分析:解二元一次方程组的主要思想是消元的思想,有代入消元和加减消元两种消元的方法, 下面用加减消元法写出它的求解过程. (可以让学生上黑板演练) 解:第一步,②-①×2 得 5y=3; ③ 第二步,解③得 y=3/5; 第三步,将 y=3/5 代入①,得 x=1/5

1 ? x ? ? ? 5 第四步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3 ? 5 ?
评注:1.以上求解的步骤就是解二元一次方程组的算法; 2 本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法. 引例 2:写出求方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ? a 2 x ? b2 y ? c 2

① ②

?a1b2 ? a 2 b1 ? 0?的解的算法.


解:第一步,②×a1 - ①×a2,得: ?a1b2 ? a2b1 ?y ? a1c2 ? a2 c1 第二步,解③得 y ?

a1c2 ? a 2 c1 ; a1b2 ? a 2 b1

第三步,将 y ?

b c ? b1c2 a1c2 ? a2 c1 代入①,得 x ? 2 1 . a1b2 ? a2 b1 a1b2 ? a 2 b1

b2 c1 ? b1c 2 ? x ? ? a1b2 ? a 2 b1 ? 第四步,得到方程组的解为 ? ? y ? a1c 2 ? a 2 c1 ? a1b2 ? a 2 b1 ?
上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法,我们可以进一步根据这一算法编制计算机程序,让 计算机来解二元一次方程组. 二、〖新知探究〗 (一)算法概念 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可以编 成计算机程序,让计算机执行并解决问题. 说明:1. 算法一词出现于 12 世纪,指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程; 2.“算法”没有一个精确化的定义,教科书只对它作了描述性的说明; 3.在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程 序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成; 4.算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的; (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可; (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步 骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问 题; (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法; (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限是、事 先设计好的步骤加以解决. (二)典型例题 例 1 (1)设计一个算法,判断 7 是否为质数. (2)设计一个算法,判断 35 是否为质数. 算法分析: (1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用 2~6 除 7,如果它们中有一个能整除 7,则 7 不是质数, 否则 7 是质数. 根据以上分析,可写出如下的算法: 第一步,用 2 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 2 不能整除 7. 第二步,用 3 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 7. 第三步,用 4 除 7,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 7. 第四步,用 5 除 7,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 5 不能整除 7. 第五步,用 6 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 6 不能整除 7.因此,7 是质数. (2)类似地,可写出“判断 35 是否为质数”的算法: 第一步,用 2 除 35,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 2 不能整除 35. 第二步,用 3 除 35,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 35. 第三步,用 4 除 35,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 35. 第四步,用 5 除 35,得到余数 0.因为余数为 0,所以 5 能整除 35.因此,35 不是质数.

探究:你能写出“判断整数 n(n>2) 是否为质数”的算法吗? 算法分析(一):根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤: 第一步:判断 n 是否等于 2,若 n=2,则 n 是质数;若 n>2,则执行第二步. 第二步:依次从 2 至(n-1)检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数,若有这样的数,则 n 不是质数;若 没有这样的数,则 n 是质数. 算法分析(二):对于任意的整数 n(n>2) ,若用 i 表示 2 ~ (n ? 1) 中的任意整数,则“判断 n 是否为质 数”的算法包含下面的重复操作:用 i 除 n ,得到余数 r .判断余数 r 是否为 0,若是,则 n 不是质数; 否则,将 i 的值增加 1,再执行同样的操作.这一操作一直要进行到 i 的值等于 (n ? 1) 为止.因此,“判 断 n 是否为质数”的算法可以写成: 第一步,给定大于 2 的整数 n . 第二步,令 i ? 2 . 第三步,用 i 除 n ,得到余数 r . 第四步,判断“ r ? 0 ”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否则,将 i 的值增加 1,仍用 i 表 示. 第五步,判断“ i>(n ? 1) ”是否成立.若是,则 n 是质数结束算法;否则,返回第三步. 例2 写出用“二分法”求方程 x 2 ? 2 ? 0( x>0) 的近似解的算法.

算法分析:设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过 0.005, 第一步:令 f ?x? ? x ? 2 .因为 f ?1? ? 0, f ?2? ? 0 ,所以设 x1=1,x2=2.
2

第二步:令 m ? 于 0 还是小于 0.

x1 ? x 2 ,判断 f(m)是否为 0.若是,则 m 为所求;若否,则继续判断 f ?x1 ? ? f ?m? 大 2

第三步:若 f ?x1 ? ? f ?m? ? 0 ,则 x1=m;否则,令 x2=m. 第四步:判断 x1 ? x2 ? 0.005是否成立?若是,则 x1、x2 之间的任意值均为满足条件的近似根;若否, 则返回第二步. 说明: 按以上步骤, 我们将依次得到课本第 5 页的表 1-1 和图 1.1-1.于是, 开区间 (1.4140625, 1.41796875) 中的实数都是满足假设条件的原方程的近似解. (三)随堂练习 写出解方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的一个算法.
2

分析:本题是求一元二次方程的解的问题,方法很多,下面分别用配方法、判别式法写出这个问题的 两个算法. 算法一: 第一步:移项,得: x ? 2 x ? 3 ;
2


2

第二步:①式两边同加 1 并配方,得: ?x ?1? ? 4



第三步:②式两边开方得: x ? 1 ? ?2 第四步:解③得: x ? 3或x ? ?1



算法二: 第一步:计算方程的判别式并判断其符号: ?=22+4×3=16>0; 第二步:将 a=1,b=-2,c=-3 代入求根公式 x ?

? b ? b 2 ? 4ac .得: x ? 3或x ? ?1 2a

思考:你能举出更多的算法的例子吗?与一般的解决问题的过程相比,你认为算法更重要的特征是什 么? 三、〖归纳小结〗 本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题的步骤,平时无论我们做什么事都离不开算法,算 法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言. 四、〖书面作业〗 教材第5页练习1,2. 1.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积. 算法步骤: 第一步:输入任意一个正实数 r; 第二步:计算以 r 为半径的圆的面积: S ? ? ? r ;
2

第三步:输出圆的面积 S. 2.任意给定一个大于 1 的正整数 n,设计一个算法求出 n 的所有因数. 算法步骤: 第一步:依次以 2~(n-1)为除数去除 n,检查余数是否为 0.若是,则是 n 的因数;若不是,则不是 n 的因数; 第二步:在 n 的因数中加入 1 和 n; 第三步:输出 n 的所有因数. 五、〖板书设计〗
一、算法的概念

二、算法的特点 1、 2、 3、 4、 5、

例 1???

随堂练习

探究

例 2???

六、〖教后记〗 1. 2.

七、〖巩固练习〗 1.写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法. 分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式 1+2+?+n= 运算律简化运算过程. 算法 1: S1:计算 1+2 得到 3; S2:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6; S3:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10; S4:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15; S5:将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21. 算法 2: S1:取 n=6; S2:计算

n( n ? 1) 进行,也可以根据加法 2

n( n ? 1) ; 2

S3:输出运算结果. 算法 3:21 世纪教育网 S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7; S2:计算 3×7; S3:输出运算结果. 解题反思:算法 1 是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如 1+2+3+?+10000, 再用这种方法是行不通的;算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法,但比较而言,算法 2 最为简单, 且易于在计算机上执行操作. 2.求 1×3×5×7×9×11 的值,写出其算法. 算法 1: 第一步,先求 1×3,得到结果 3; 第二步,将第一步所得结果 3 再乘以 5,得到结果 15; 第三步,再将 15 乘以 7,得到结果 105; 第四步,再将 105 乘以 9,得到 945; 第五步,再将 945 乘以 11,得到 10395,即是最后结果. 算法 2:用 P 表示被乘数,i 表示乘数; S1 使 P=1; S2 使 i=3; S3 使 P=P×i; S4 使 i=i+2; S5 若 i≤11,则返回到 S3 继续执行;否则算法结束. 解题反思:由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句.因此,上述算法 2 不仅是正确 的,而且是在计算机上能够实现的较好的算法.在上面的算法中,S3,S4,S5 构成一个完整的循 环,这里需要说明的是,每经过一次循环之后,变量 P、i 的值都发生了变化,并且生循环一次之 后都要在步骤 S5 对 i 的值进行检验,一旦发现 i 的值大于 11 时,立即停止循环,同时输出最后 一个 P 的值,对于循环结构的详细情况,我们将在以后的学习中介绍. 3.写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法(打印结果) 算法如下:

S1 使 i=1; S2 i 被 3 除,得余数 r; S3 如果 r=0,则打印 i,否则不打印; S4 使 i=i+1; S5 若 i≤1000,则返回到 S2 继续执行,否则算法结束. 4.求过 P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率的算法. 算法如下: 第一步:取 x1= a1,y1= b1,x2= a2,y1= b2; 第二步:若 x1= x2; 第三步:输出斜率不存在; 第四步:若 x1≠x2; 第五步:计算 k ?

y2 ? y1 ;21 世纪教育网 x2 ? x1

第六步:输出结果. 5.写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法. 算法如下: 第一步:取 x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; 第二步:计算

y ? y1 x ? x1 ; ? y2 ? y1 x2 ? x1

第三步:在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m,得直线与 y 轴交点(0,m); 第四步:在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n,得直线与 x 轴交点(n,0); 第五步:计算 S=

1 | m | ? | n |; 2

第六步:输出运算结果. 6.写出解不等式 x2-2x-3<0 的一个算法. 算法如下: 第一步:x2-2x-3=0 的两根是 x1=3,x2=-1; 第二步:由 x2-2x-3<0 可知不等式的解集为{x | -1<x<3}. 解题反思:该题的解法具有一般性,下面给出形如 ax2+bx+c>0 的不等式的解的步骤(为方便,我 们设 a>0)算法如下: 第一步:计算△= b ? 4ac ;
2

第二步:若△>0,示出方程两根 x1, 2 ?

? b ? b2 ? 4ac (设 x1>x2),则不等式解集为{x | x>x1 2a
b }; 2a

或 x<x2};第三步:若△= 0,则不等式解集为{x | x∈R 且 x ? ? 第四步:若△<0,则不等式的解集为 R. 21 世纪教育网


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