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江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与不等式

时间:2013-06-05


常州中学 2011 高考冲刺复习单元卷—函数与不等式
一、填空题: (请把答案直接填空在答题卷相应位置上。 ) 1. 若函数 f ( x ? 1) 的定义域为[0,1],则 f (3 x ? 1) 的定义域为 ▲ .

2.

? 1? x ? B ? ?y y ? ? ? ? A ? ?x ? 0? ? 3? ? ? x ? ? ,则 A? B ? ? ?, 已知集合

? ?

x ? ?1? ?



.

3. 下列说法错误的是:



2 (1)命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , x ? 1 ” 则 的逆否命题为: x ? 1 , “若

2 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”(2)“ x ? 1 ”是“ | x |? 1 ”的充分不必要条件;

(3)若 p 且 q 为假命题,则 p 、

2 q 均为假命题;(4)命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “ ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “

4. 下列三个命题中,真命题是:



①“若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题;



2 “面积相等的三角形全等”的否命题;③“若 m? 1 ,则方程 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题.

f ( x) ?

5.若函数

a ? x2 x ?1 ?1

为奇函数,则 a 的取值范围为



.

6. 已知实数 x, y 满足

x ? x? y y

,则 x 的取值范围是



.

7. 函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 的图象如图所示,则当 0 ? a ? 1 时,函数 g ( x) ? f (log a x) 的单调减区间是 ▲ .
y

o
2 2

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? b ? 1 (a ? R, b ? R) ,对任意实数 x 都有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) 成立,若当
x ? ? ?1,1?

1 2

1

x

时, f ( x ) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是



.

9、 已知

A( x0 , y0 ), B(1,1), C(5, 2) , 如果一个线性规划问题为可行域是 ?ABC 边界及其内部,

线性目标函数 z ? ax ? by ,在 B 点处取得最小值 3,在 C 点处取得最大值 12,则 范围 ▲ .
1

ax0 ? by0

10、 f ( ,) g x 设 x ()

均是定义在 R 上奇函数,且当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0, f (?2) g ( ?2) ? 0 ,则不 ▲ .

等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为
x

1 ? 1 ?1 2 ?( ) x x1 , x2 2 11. 若 是方程 的两个实数解,则 x1 ? x2 =



.

12、线性目标函数 z=2x-y 在线性约束条件

?|| xy ||?? 11

下,取最小值的最优解是____



13.若实数 x、y 满足

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? 0, ? x ? 2, ?

y 则 x 的取值范围是 ▲

.

14.已知 x, y, z 满足

?x ? y ? 5 ? 0 ? x?0 ? ?x ? y ? k ? 0 ?

,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 ?6 ,则常数 k 的值为



.

二、解答题:(请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
? ? A ? ?x y ? ? ? x?4? ? x2 ? x ? 1 ? B ? {k f ( x) ? 2 2? x? kx ? kx ? 1 ?

15.设集合

的定义域为 R }
y ? f ( x), x ? A}

f :x? y ? x ? 1 ,若 a ? B ,且 a ?{ y (1)若 f 是 A 到 B 的函数,使得

2

,试求实数 a 的取值

范围; (2)若命题 p : m? A ,命题 q : m? B ,且“ p 且 q ”为假,“ p 或 q ”为真,试求实数 m 的取值范围.

? 16.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f (x ) 为 f (x)的导函数,函数

b?3 y ? f ?(x) 的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,求 a ? 3 的取值范围.
x f (x) -2 1 0 -1 4 1 -2 O x y

2

17.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场 售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图(2)的抛物线表示.

(1)写出图(1)中表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ; 写出图(2)中表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/100kg,时间单位:天)

2 18.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c,(a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x ,都有 f ( x ) ? x ,且当

x? (1,3)时,有

1 f ( x) ? ( x ? 2) 2 8 成立. m x 2
x ? [0, ?? )

(1)求 f (2) ;
g ( x)

(2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式;
y? 1 4 的上方,求实数 m 的

(3)设

g ( x) ? f ( x) ?

,若

图上的点都位于直线

取值范围.

3 2 19.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 , 1) ( 若函数 y ? f ( x)在 x ? ?2

时有极值, 求

f ( x)

95 [ ,13] y ? f ( x)在 [?2, m] 上的值域为 27 的表达式; (2) (1) 在 条件下,若函数 ,

求 m 的取值范围; (3)若函数 y ? f ( x ) 在区间[-2,1]上单调递增,求 b 的取值范围.

20、在平面直角坐标系上,设不等式组

?x ? 0 ? ?y ? 0 ? y ? ?n( x ? 3) ?

(n? N )

?

3

所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即横坐标和纵坐标均
? 为整数的点)的个数为 an (n ? N ) .

(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 并猜想 an 的表达式

?1? ? ? S a (Ⅱ)设数列 ? n ? 的前项和为 Sn ,数列 ? n ? 的前项和 Tn ,
是否存在自然数 m?使得对一切 n ? N , 求出 m 的值,若不存在,请说明理由。
?

Tn ? m 恒成立。若存在,

参考答案 填充题: 1.若函数
f ( x ? 1)

的定义域为[0,1],则
? ?

f (3 x ? 1)

的定义域为

2 [ ,1] . 3

? 1? x ? B ? ?y y ? ? ? ? A ? ?x ? 0? ? 3? ? ? x ? ? ,则 A? B ? ? ?, 2.已知集合

x ? ?1? ?

(0,1)

3.下列说法错误的是:

(3)

2 (1)命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,

2 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”(2)“ x ? 1 ”是“ | x |? 1 ”的充分不必要条件;

(3)若 p 且 q 为假命题,则 p 、

2 q 均为假命题;(4)命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “ ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “

4.下列三个命题中,真命题是: ①②③

① “若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数” 的逆命题;

② “面
y

2 积相等的三角形全等”的否命题;③“若 m? 1 ,则方程 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题.

5.若函数

a ? x2 f ( x) ? x ?1 ?1

o

1 2

1

x

为奇函数,则 a 的取值范围为

0 ? a ?1

x ? x? y x, y 满足 y 6.已知实数 ,则 x 的取值范围是

( ??,0) ? [4, ?? )

7. 函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 的图象如图所示,则当 0 ? a ? 1 时,函数 g ( x) ? f (log a x) 的单调减区间是
[ a ,1]
2 2 8.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? b ? 1 (a ? R, b ? R) ,对任意实数 x 都有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) 成立,若当

x ? ? ?1,1?

时, f ( x ) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是

b ? ?1 或 b ? 2

9、 已知

A( x0 , y0 ), B(1,1), C(5, 2) , 如果一个线性规划问题为可行域是 ?ABC 边界及其内部,
4

线性目标函数 z ? ax ? by ,在 B 点处取得最小值 3,在 C 点处取得最大值 12,则 范围 10、 f ( ,) g x 设 x ()

ax0 ? by0

均是定义在 R 上奇函数,且当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0, f (?2) g ( ?2) ? 0 ,则不
( ??, ?2) ? (2, ?? )

等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为

.

1 ? 1 ?1 2x ? ( ) x 2 11.若 x1 , x2 是方程 的两个实数解,则 x1 ? x2 = -1

.

12、线性目标函数 z=2x-y 在线性约束条件

?|| xy ||?? 11

下,取最小值的最优解是____

13.(福建 10)若实数 x、y 满足
?x ? y ? 5 ? 0 ? x?0 ? ?x ? y ? k ? 0 ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? 0, ? x ? 2, ?

y 则 x 的取值范围是 [2,+∞)

14.已知 x, y, z 满足 二.解答题:

,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 ?6 ,则常数 k 的值为
x?4? ? x2 ? x ? 1 ? B ? {k f ( x) ? 2 2? x? kx ? kx ? 1 ?

0

.

15. (本小题 14 分)设集合

? ? A ? ?x y ? ? ?

的定义域为 R } ,试求实数 a 的取值

f :x? y ? x ? 1 ,若 a ? B ,且 a ?{ y (1)若 f 是 A 到 B 的函数,使得

2

y ? f ( x), x ? A}

范围; (2)若命题 p : m? A ,命题 q : m? B ,且“ p 且 q ”为假,“ p 或 q ”为真,试求实数 m 的取值范围. 解: (1)A=
(2, 4]

??2 分; B=

[0, 4)

2 2 y ?[ ,2) a ? [0, ) ? [2, 4) 3 3 ??4 分; ??6 分, ??8 分

(2)当 P 真 Q 假时, m ? 4 ??10 分;当 P 假 Q 真时, 0 ? m ? 2 , ??12 分所以 m ? [0, 2] ? {4} ?? 14 分

? 16.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f (x ) 为 f (x)的导函数,函数

b?3 y ? f ?(x) 的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 a ? 3 的取值范围 是 . y
x f (x) -2 1 0 -1 4 1 -2 O x

5

17.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场 售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图(2)的抛物线表示.

(1)写出图(1)中表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ; 写出图(2)中表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/100kg,时间单位:天)
?300 ? t ,0 ? t ? 200, ? ?2t ? 300,200 ? t ? 300;

(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=

1 200 (t-150)2+100,0≤t≤300. 由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) ,
? 1 2 1 175 ?? 200 t ? 2 t ? 2 ,0 ? t ? 200, ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 ,200 ? t ? 300. 2 2 ? 即 h(t)= ? 200
1 当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=- 200 (t-50)2+100,

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100;
1 200 (t-350)2+100, 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)=-

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5.
6

综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100, 此时 t=50,即从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大.

2 18. (本小题 16 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c,(a, b, c ? R) 满足: 对任意实数 x ,都有 f ( x ) ? x ,

且当
x? (1,3)时,有
1 f ( x) ? ( x ? 2) 2 8 成立. m x 2
x ? [0, ?? )

(1)求 f (2) ;
g ( x)

(2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式;
y? 1 4 的上方,求实数 m 的

(3)设

g ( x) ? f ( x) ?

,若

图上的点都位于直线

取值范围. .解: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立

1 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? (2 ? 2) 2 ? 2 8 又∵取 x=2 时, 与恒成立∴ f (2) ? 2

????3 分

?4a ? 2b ? c ? 2 ? 4a ? 2b ? c ? 0 (2)∵ ?

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴

b?

1 , 2

c ? 1 ? 4a
??5 分

2 又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立

1 a ? 0, ? ? ( ? 1) 2 ? 4a(1 ? 4a) ? 0 2 ∴ , ????7 分 1 1 1 1 1 1 a ? ,b ? ,c ? f ( x) ? x 2 ? x ? 8 2 2∴ 8 2 2 解出: g ( x) ?
(3)
2

????10 分

1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 8 2 2 2 4 必须恒成立

即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立

1?
①△<0,即 [4(1-m)]2-8<0,解得:

2 2 ? m ? 1? 2 2

??13 分

?? ? 0 ? ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ②?

m ? 1?
解出:

2 2 m ? (??,1 ? ) 2 2 总之,
7

???16 分

3 2 19. (本小题 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 , (1)若

函数 y ? f ( x)在 x ? ?2 时有极值, f ( x) 的表达式; (2) (1) 求 在 条件下,若函数 y ? f ( x)在 [?2, m]
95 ,13] 上的值域为 27 ,求 m 的取值范围; (3)若函数 y ? f ( x ) 在区间[-2,1]上单调递增,求 b [

的取值范围.

? 解:由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 求异得 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,在 x = 1 处的切线方程为
3 2 2

y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1)即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1)
?3 ? 2a ? b ? 3 ? ? a ? c ? 2 ?1 所以: ?

由已知切线方程为 y ? 3x ? 1

? y ? f ( x)在x ? ?2 时有极值,故 f ?(?2) ? 0 ? ?4a ? b ? ?12 ???(3)
由(1) (3)相联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5 f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5 ???5 分 (2)
3 2

? (2) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2)
2 2

x

-2

2 (?2, ) 3


2 3
0 极小

2 ( ,?? ) 3
+

f ?(x)

0 13

f (x)

f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13,

2 95 f( )? 3 27

2 2 x ? ( ,?? ) [ ,2] f ( x) ? 13得x ? 2 ,由题意得 m 的取值范围为 3 3 当 ,令 ????9
分 (3) y ? f (x) 在区间[-2,1]上单调递增

? ? 又 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,由(1)知 2a ? b ? 0, ? f ( x) ? 3x ? bx ? b
2 2

? ? 依题意 f (x) 在[-2,1]上恒有 f ( x) ? 0,即3x ? bx ? b ? 0 在[-2,1]上恒成立,?
2

11 分

x?
①在

b ?1 f ?( x)小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 ?b ? 6 ?12 分 6 时,

x?
②在

b ? ?2时, f ?( x) 小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ? b ? ? 6 ?13 分
8

?2?
③在

b 12b ? b 2 ? 1时, f ?( x) 小 ? ? 0 则0 ? b ? 6. 6 12 ?14 分

综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是: b ? 0 ?16 分 20、

在平面直角坐标系上,设不等式组

?x ? 0 ? ?y ? 0 ? y ? ?n( x ? 3) ?

(n? N )

?

所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即横坐标和纵坐标均
? 为整数的点)的个数为 an (n ? N ) .

(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 并猜想 an 的表达式

?1? ? ? S a (Ⅱ)设数列 ? n ? 的前项和为 Sn ,数列 ? n ? 的前项和 Tn ,
是否存在自然数 m?使得对一切 n ? N , 求出 m 的值,若不存在,请说明理由。
?

Tn ? m 恒成立。若存在,

20.解: (Ⅰ)当 n=1 时,D1 为 Rt△OAB1 的内部包括斜边,这时 当 n=2 时,D2 为 Rt△OAB2 的内部包括斜边,这时 当 n=3 时,D3 为 Rt△OAB3 的内部包括斜边,这时 由此可猜想 an =3n。 -----------------------由(1)(2)知 an =3n 对一切 n ? N 都成立。 -------------、 (Ⅱ)∵ an =3n,
?

a1 ? 3 ,

a2 ? 6 , a3 ? 9 ,??,

a ∴数列 ? n ? 是首项为 3,公差为 3 的等差数列,



Sn ?

n(3 ? 3n) 3n(n ? 1) ? 2 2 .

?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) Sn 3n(n ? 1) 3 n n ? 1

-------------------------10 分

?Tn ?

1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ??? ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] S1 S2 Sn 3 2 2 3 n n ?1

9

2n 2 1 (1 ? ) n ? 1 = 3(n ? 1) -----------------------------=3
∵对一切 n ? N ,
?

Tn ? m 恒成立,



m ? (Tn )min



Tn ?

2 1 2 1 1 (1 ? ) (Tn ) min ? (1 ? ) ? 3 n ? 1 在 [1, ??) 上为增函数 ∴ 3 2 3 -1 1 m? 3 的自然数为 0, 3 ,满足

?m ?

∴满足题设的自然数 m 存在,其值为 0。 -----------------------

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