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2015-2016学年高中数学 1.2.3组合(一)学案 新人教A版选修2-3

时间:2015-12-17


2015-2016 学年高中数学 1.2.3 组合 (一) 学案 新人教 A 版选修 2-3

基 础 梳 理 1.组合的概念. (1)从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m m 个元素的一个组合,记作 Cn. (2)如果两个组合中的元素完全相同,不管他们的顺序如何都是相同的组合. 如果两个组合中的元素不完 全

相同(即使只有一个元素不同),就是不同的组合. (3)组合与 排列问题共同点是都要“从 n 个不同元素中,任取 m 个元素”,不同点是前 者“不管怎样顺序并成一组”,而后都要“按照一定顺序排成一列”. 2. 组合数公式及性质. (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中 m 取出 m 个元素的组合数.用符号 Cn表示. An n(n-1)(n-2)?(n-m+1) m Cn= m= Am m! 这里 m、n∈N ,并且 m≤n,组合数公式可以用阶乘表示为: Cn=
m
*

m

n! m!(n-m)!
0

规定:Cn=1 (2)组合数的性质: m n-m ①Cn=Cn ; m m m-1 ②Cn+1=Cn+Cn .

自 测 自 评 1.给出下列问题: ①从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的 选法? ②有 4 张电影票,要在 7 人中确定 4 个去观看,有多少种不同的选法? ③某人射击 8 枪,击中 4 枪,且命中的 4 枪均为 2 枪连中,则不同的结果有多少种? 其中组合问题的个数是(C) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 C.①与顺序有关,是排列问题;②③均与顺序无关,是组合问题.故选 C. x 2 2.若 C6=C6,则 x 的值是 2 或 4. 3.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数共有(D)

1

A.20 条 B.15 条 C.12 条 D.10 条

注意组合数中字母的取值范围 1 1 7 【典例】 已知 m- m= m,则 m= C5 C6 10C7 ________________________________________________________________________. * 解析:依题意,m 的取值范围是{m|0≤m ≤5,m∈N }. 原等式化为
2

m!·(5-m)! m!·(6-m)! 7m!·(7-m)!
5! - 6! = 10×7!
*



化简得 m -23m+42=0, 解得 m=21 或 m=2.因为 0≤m≤5, m∈N , 所以 m=21 应舍去, 所以 m=2. 【易错剖析】运用组合数公式时,必须注意其中对字母取值范围的限制.本题中,在求 出 m=21 和 m=2 之后,有时容易忽视了 m 的取值范围,而没有舍去 m=21,导致结果错误.

基 础 巩 固 1.若 C6=C6,则 x 的值为(C) A.2 B.4 C.4 或 2 D.3 解析: 由组合数性质知 x=2 或 x=6-2=4,故选 C. 2.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门, 则不同的选修方案共有 (C) A.36 种 B.48 种 C.96 种 D.192 种 2 3 解析:甲选修 2 门有 C4=6 种选法,乙、丙各有 C4=4 种选法.由分步乘法原理可知, 共有 6×4×4=96 种选法. 3.某校一年级有 5 个班,二年级有 8 个班,三年级有 3 个班,分年级举行班与班之间 的篮球单循环赛 ,总共需进行比赛的场数是(A) 2 2 2 2 2 2 A.C5+C8+C3 B.C5C2C3 2 2 2 2 C.A5+A8+A3 D.C16 4.按 ABO 血型系统学说,每个人的血型为 A、B、O、AB 四种之一,依血型遗传学,当 且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时,子女一定不是 O 型,若某人的血型为 O 型,则 父母血型所有可能情况有______种. 1 1 解析:父母应为 A、B 或 O,C3·C3=9(种). 答案:9 能 力 提 升 5.集合 M={x|x=C4,n≥0 且 n∈N},集合 Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是(D) A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q? M C.M? Q D.M∩Q={1,4}
2
n x
2

解析:由 C4知,n=0,1,2,3,4,又 C4=1,C4=4,C4=

n

0

1

2

4×3 3 1 4 =6,C4=C4=4,C4=1. 2

∴M={1,4,6}.故 M∩Q={1,4}. 6.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有(A) A.36 种 B.30 种 C.42 种 D.60 种 1 2 解析: 法 1(直接法) 选出的 3 名志愿者中含 1 名女生有 C2·C6种选法,含 2 名女生有 2 2 2 2 2 1 C2·C6种选法,∴共有 C2C6+C2C6=36 种选法. 3 法 2(间接法) 若选出的 3 名全是男生,则有 C6种选法,∴至少有一名女生的选法数为 3 3 C8-C6=36 种. x x 2x+2 7.方程 C17-C16=C16 的解集是________. x x x-1 x-1 2x+2 解析:因为 C17=C16+C16 ,所以 C16 =C16 ,由组合数公式的性质,得 x-1=2x+2 或 x-1+2x+2=16,得 x1=-3(舍去),x2=5. 答案:{5} 8.从一组学生中选出 4 名学生当代表的选法种数为 A,从这组 学生中选出 2 人担任正、

B 2 副组长的选法种数为 B,若 = ,则这组学生共有________人. A 13
An 2 解析:设有学生 n 人,则 4= ,解之得 n=15. Cn 13 答案:15 x-2 x-1 9.解不等式:2Cx+1<3Cx+1. x-2 x-1 解析:因为 2Cx+1<3Cx+1, 3 2 所以 2Cx+1<3Cx+1, 2×(x+1)x(x-1) (x+1)x 所以 <3× , 3×2×1 2×1 所以
2

x-1 3

11 < ,所以 x< , 3 2 2 所以 x≥2,

因为?

? ?x+1≥3, ?x+1≥2, ?

11 * 所以 2≤x< ,又 x∈N ,所以 x=2,3,4,5. 2 所以不等式的解集为{2,3,4,5}. 10.平面内有 10 个点,其中任何 3 个点不共线,以其中任意 2 个点为端点. (1)线段有多少条? (2)有向线段有多少条? 10×9 2 解析:(1)所求线段的条数,即为从 10 个元素中任取 2 个元素的组合,共有 C10 = 2×1 =45(条). 即以 10 个点中的 2 个点为端点的线段共有 45 条. 2 (2)所求有向线段的条数,即为从 10 个元素中任取 2 个元素的排列,共有 A10=10×9= 90(条). 即以 10 个点中的 2 个点为 端点的有向线段共有 90 条.

3


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