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高三总复习三角函数专题


2012届高考数学第一轮复习
三角函数
主讲人:杜浩勤 普宁市城东中学

一、解读大纲,明确考点
1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

sin 2 x ? cos 2 x ? 1, tan x ? 2.理解同角三角函数的基本关系式:

sin x cos x

r />3. 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 4.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,能利用两角差的余弦公式导出两角差的 正弦、正切公式. 5.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象. 6.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等),理解正切函数在区间上的单调性.了解三角函数的周期性.

二、身临其境,实战模拟
(一)近四年(2008-2011年)广东高考三角函数考查知识点:
题号
12 16 考查知识点 2008 三角函数周期 三角函数的性 质及恒等变换 三角函 数求值 三角函数周期 性、三角函数 化简和求值 三角函数性质、 三角函数求值 2009 2010 2011

题型
填空题 解答题

(二)具体各年题型分布如下:
(2008年广东高考)

12.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R , 则 f ( x ) 的最小正周期是
解析: f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ?


1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? , 2 2 2 4 2

2? ?? 。 故函数的最小正周期 T ? 2

16. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? π) ,

?π 1? x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? . ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

解: (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M (

? 1

? 1 ? 5 sin( ? ? ) ? ,而 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? , 2 3 2 3 6
故 f ( x) ? sin( x ?

?

, ) 代入得 3 2

?

3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

2

) ? cos x ;

3 2 4 12 2 5 ?sin ? ? 1 ? ( ) ? ,sin ? ? 1 ? ( ) ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65

(2009年广东高考)

16.(本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值;
10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. (2)若 sin(? ? ? ) ? 10 2

?

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? , 代入 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?
2

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



3 10 则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ? , 10 2 ∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? . 2

(2010年广东高考)
16. (本小题满分 l4 分)

已知函数f ? x ? ? A sin ? 3x ? ? ? ( A>0,x ? ? ??, ?? ?, 0<?<?),在x ? (1)求f (x)的最小周期 (2)求f (x)的解析式 2 ? 12 (3)若( f ? + )= ,求 sin ? . 3 12 5

?
12

时取得最大值4。

2? 解:(1)T= ; 3 (2)由f ( x)的最大值是4知,A=4, f ( x) max ? f ( ) ? 4 sin(3 ? ? ? ) ? 4, 即sin( ? ? ) ? 1, 12 12 4 ? ? 5? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,? ? ? ? ?? ? . 4 4 4 4 2 4 ? f ( x ) ? 4 sin(3 x ?

?

?

?

?

4

)

2? ? ? ? 12 ? 2? ? (3) f ( ? ) ? 4 sin ?3( ? )? ? ? , 3 12 4? 5 ? 3 12

?? 3 ? 3 3 ? 2? ? 即 sin ?3( ? )? ? ? , ? sin( 2? ? ) ? , 即 cos 2? ? , 4? 5 2 5 5 ? 3 12
3 1 5 2 ?1 ? 2 sin ? ? ,? sin ? ? ? sin ? ? ? 5 5 5
2

(2011年广东高考)

16. (本小题满分 12 分)

1 ? 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R 3 6 5? (1)求 f ( ) 的值; 4
(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3 ? ? ) ? , f (3 ? ? 2 ? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

5? 5? ? ? ? ) ? 2sin ? 2 ; 解:(1) f ( ) ? 2sin( 4 12 6 4 10 5 ? 12 (2) f (3? ? ) ? 2sin ? ? ,? sin ? ? ,又 ? ? [0, ] ,? cos ? ? , 2 13 13 2 13 f (3? ? 2? ) ? 2sin( ? ?
又 ? ? [0,

?

?
2

) ? 2 cos ? ?

6 3 ,? cos ? ? , 5 5

?
2

] ,? sin ? ?

4 , 5 16 65

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

三、稳扎稳打,强化训练
题型一:三角函数定义
1.如右图在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边 分别与单位圆交于 A,B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 求:tan(α+β)的值; 2 2 5 、 . 10 5



解:由已知条件及三角函数的定义可知, cos α= 2 2 5 ,cos β= . 10 5

因为 α 为锐角,故 sin α>0,从而 sin α= 同理可得 sin β=

1-cos2α=

7 2 . 10

5 1 .因此 tan α=7,tan β= . 5 2 tan α+tan β = =-3. 1 1-tan αtan β 1-7× 2 7+ 1 2

所以 tan(α+β)=

本题主要考查三角函数的定义,根据三角函数的定义,本题所给的两个横坐标

实际上就是α,β的余弦值,又由于这两个角都是锐角,由同角三角函数的关系
式就可以求出这两个角的正切,再代入两角和的正切公式就可以得出结果。

题型二:简单三角恒等变形
? π? 1 cos2α ? ? 1.已知 sinα= +cosα,且 α∈ 0,2 ,则 ? 的值为______. 2 π? ? ? sin?α- 4 ? ? ?

π π π 1 π β 3 2.若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )=( ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9

cos2α-sin2α ?cosα+sinα??cosα-sinα? cos2α 解:(1) ? = = π? 2 2 sin?α- 4 ? ?sinα-cosα? ?sinα-cosα? 2 2 ? ? =- 2(cosα+sinα), 1 1 ∵sinα= +cosα,∴cosα-sinα=- , 2 2 1 3 两边平方得 1-2sinαcosα= ,所以 2sinαcosα= . 4 4 ? π? 3 7 2 ? ? ∵α∈ 0,2 ,∴cosα+sinα= ?cosα+sinα? = 1+ = , 4 2 ? ? cos2α 14 ∴ ? =- . 2 π? sin?α- 4 ? ? ?

?π ? 1 π (2)∵cos?4+α?= ,0<α< , 2 ? ? 3 ?π ? 2 3 ?π β? 3 π ∴sin?4+α?= .又∵cos?4-2?= ,- <β<0, 3 3 2 ? ? ? ? ?π β? 6 ? ? ∴sin 4-2 = , 3 ? ? ? ??π ? ?π β?? β? ∴cos?α+2 ?=cos??4+α?-?4-2?? ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ?π β? ?π ? ?π β? =cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9

1.在进行三角函数化简或者求值时,如果求解目标较为复杂, 则首先要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已 知条件. 2.在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的变换, 把求解的角用已知角表示出来,把求解的角的三角函数使用 π 已知的三角函数表示出来,常见的角的变换有,把 +2α 变换 2 ?π ? ? 成 2? +α? ?,α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β), ?4 ? ? ? α+β α+β ? β? ? ? ?α 2α=(β+α)-(β-α),α+β=2· , =?α-2?-?2 -β? ?等; 2 2 ? ? ? ?

题型三:三角函数图像与性质

1.已知函数 f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象 与直线 y=

2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的
)

单调递增区间是(

? 3? ? 3? ?? ? ? A. ? k? ? , k? ? ,k∈Z B. ? k? ? , k? ? ? ,k∈Z ? 8 8 ? 8 8? ? ? ? 5? ? ? ?? ? ? C. ? k? ? , k? ? ,k∈Z D. ? k? ? , k? ? ? ,k∈Z ? 8 8 ? 8 8? ? ?

解:f(x)=

2 sin(? x ?

?
4

) ,∵y=f(x)的图象与直线 y= 2

的两个相邻交点的距离等于 π,∴f(x)的周期为 T=π, 2π 又∵T= ,∴ω=2,∴f(x)= ω

2 sin(2 x ?

?
4

),

? 3? ? π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 2 2 8 4 8
3? ?? ? ∴f(x)的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ,k∈Z,故选 B. 8 8? ?

求函数 f(x)= Asin(ωx+φ)(ω>0)单调区间常用换元法:将 ωx+ φ π π? ? 作为一个整体,若求单调增区间,令 ωx+ φ∈ 2kπ-2 ,2kπ+ 2 (k∈ Z); ? ? π 3π ? ? 若求单调减区间,则令 ωx+φ∈ 2kπ+2 , 2kπ+ 2 (k∈ Z).值得注意的是, ? ? 若 ω<0,则需要利用诱导公式将其转换为 f(x)= Asin (ωx+ φ)( ω>0)的形式, 再用换元法求单调区间.

2.已知函数f ? x ? ? log 2 [ 2sin(2x ? 求: ?1? 函数f ? x ?的定义域;

?
3

)].

? 2 ? 满足f ? x ? ? 0的x值的集合; ? 3? 函数f ? x ?的值域.

解: ?1? 令 2sin(2x ? ) ? 0,得sin(2x ? ) ? 0, 3 3 ? 2k ? ? 2x ?

?

?

?
3

? 2k? ? ? (k ? Z),

2 则k? ? ? x ? k? ? ? (k ? Z). 6 3 2 故f ? x ?的定义域为(k? ? ,k? ? ? )(k ? Z). 6 3

?

?

2 ? ? ? sin(2x ? ) ? ,则2x ? ? 2k? ? ? 2 ? f ? x ? ? 0, 3 2 3 4 3 7 13 或2k? ? ? (k ? Z),得x ? k? ? ? 或x ? k? ? ? (k ? Z). 4 24 24 7 13 故x的取值集合是{x | x ? k? ? ? 或x ? k? ? ?,k ? Z}. 24 24

?

? 3?因为0 ?

2sin(2x ? ) ? 2,且f ? x ? ? log 2 x 3 1 在(0, ? ?)上为增函数,故f ? x ?的值域为(??, ]. 2

?

解决本题的关键是转化为基本函数y ? sinx的定义域、 零点进行求解.

1 1 π 3.已知函数 f(x)= sin 2xsin φ+ cos2xcos φ- sin?2+ φ ?(0<φ<π),其图象过点 2 2 ? ?

?π,1?. ?6 2?
(1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y= f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 2 π y= g(x)的图象,求函数 g(x)在?0,4 ?上的最大值和最小值.

?

?

1 1 ?π 解:(1)因为 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- · sin 2+φ?(0<φ<π). 2 2 ? ? 1+cos 2x 1 1 1 1 所以 f(x)= sin2xsinφ+ cosφ- cosφ= sin2xsinφ+ cos2xcosφ 2 2 2 2 2 1 1 = (sin2xsinφ+cos2xcosφ)= cos(2x-φ). 2 2 π 1 π π 1 1 又函数图象过点?6,2?,所以 = · cos?2×6-φ?,即 cos?3-φ?=1. 2 2 ? ? ? ? ? ? π 又 0<φ<π,所以 φ= . 3 π? 1 ? 2 x - (2)由(1)知 f(x)= cos 3?,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩 2 ? 1 短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,可知 2

π 1 g(x)=f(2x)= cos?4x-3 ?. 2 ? ? π 因为 x∈?0,4 ?,所以 4x∈[0,π],

?

?

π 2π π 因此 4x- ∈?- 3, 3 ?, 3 ? ? π 1 故- ≤cos?4x-3 ?≤1. 2 ? ? π 1 1 所以 y=g(x)在?0,4?上的最大值和最小值分别为 和- . 2 4 ? ?

(1)已知图象求函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)的 解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最大、 最小值求出 A,由周期确定 ω,由适合解析式的点的坐 标来确定 φ 的值. (2)将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于 “五点法 ”中的哪一个点. “第一点 ”(即图象上升时与 x 轴的交点 )为 ωx0+ φ= 0+ 2kπ(k∈ Z),其他依次类推即可.

四、及时巩固,查缺补漏
1 1 - tan? α- β?+tan β 2 7 1 解 :tan α= tan[(α-β)+ β]= = = , 1 1 3 1- tan? α-β? tan β 1+ × 2 7

1 1 1.已知?,? ? (0,? ),且tan(?-? ) ? ,tan? ? ? ,求2?-?的值. 2 7

∵ tan α= >0,∴ 0<α< ,∴0<2α<π. 3 2

1 1 + tan α+ tan? α- β? 3 2 tan(2α- β)= tan[α+(α- β)]= = = 1. 1 1 1- tan αtan? α- β? 1- × 3 2 1 π

2tan α 3 π 又 tan 2α= 2 = >0,∴ 0<2α< . 2 1- tan α 4 1 π ∵ tan β=- <0,∴ <β<π, 7 2 3π ∴- π<2α- β<0.∴2α- β=- . 4

2.已知

?
2

?? ?a?

3? ? 3? 解: ?? ?a? ? 0 ? a ? ? ? ,? ? a ? ? ? , 2 4 4 2 5 ? sin(a ? ? ) ? 1 ? cos 2?? ? ? ? ? , 13 4 cos(a ? ? ) ? ? 1 ? sin2?? ? ? ? ? ? , 5 ? sin2a ? sin[(a ? ? ) ? (a ? ? )] ? sin(a ? ? )cos(a ? ? ) ? cos(a ? ? )sin(a ? ? ) 5 4 12 3 56 ? ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65

?

3? 12 3 ,cos(a ? ? ) ? ,sin(a ? ? ) ? ? ,求sin2a的值. 4 13 5

3.已知函数f ? x ? ? 2 3sinxcosx ? 2cos 2 x ? 1( x ? R).

?1? 求函数f ? x ?的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值;
6 ? ? ? 2 ? 若f ? x0 ? ? ,x0 ? [ , ],求cos2x0的值. 5 4 2 2

?

2 解: 1 由 f x ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ? 1,得 ?? ? ?

f ? x ? ? 3 ? 2sinxcosx ? ? ? 2cos x ? 1? ? 3sin2x ? cos2x
2

? 2sin(2x ? ), 6 ?函数f ? x ?的最小正周期为? . ? ? f ? x ? ? 2sin(2x ? )在区间[0, ]上为增函数, 6 6 ? ? ? 在区间[ , ]上为减函数,又f ? 0 ? ? 1,f ( ) ? 2, 6 2 6 ? ? f ( ) ? ?1, ?函数f ? x ? 在区间[0, ]上的最大值为2, 2 2 最小值为 ? 1.

?

6 ? 2 ?由?1? 可知f ? x0 ? ? 2sin(2x0 ? ).又因为f ? x0 ? ? , 6 5 ? 3 ? ? ? 2? 7? ? sin(2x0 ? ) ? .由x0 ? [ , ],得2x0 ? ? [ , ]. 6 5 4 2 6 3 6 4 从而cos(2x0 ? ) ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? , 6 6 5
2

?

?

?

? cos2x0 ? cos[(2x0 ? ) ? ] 6 6 3?4 3 ? cos(2x0 ? )cos ? sin(2x0 ? )sin ? . 6 6 6 6 10

?

?

?

?

?

?

4.设函数f ? x ? ? sin(2x ? ? )(?? ? ? ? 0),y ? f ? x ?的图象的一条对称轴 是直线x ?

?

8 ?1? 求?的值;

.

? 2 ? 求函数y ? f ? x ?的单调增区间; ? 3? 画出函数y ? f ? x ? 在区间[0,? ]上的图象.

解: ?1?因为直线x ? ? sin(2 ?

?
8

是函数y ? f ? x ?的图象的一条对称轴,

? ? ? k? ? ,k ? Z. 8 4 2 3? 因为 ? ? ? ? ? 0, ?? ? ? . 4 3? 3? ? 2 ?由?1? 知? ? ? ,因此,y ? sin(2x ? ). 4 4 ? 3? ? 由题意得2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z), 2 4 2 ? 5? 即k? ? ? x ? k? ? (k ? Z). 8 8 3? ? 5? ?函数y ? sin(2x ? )的单调增区间为[k? ? ,k? ? ](k ? Z) 4 8 8

?

? ? ) ? ?1, ?

?

?

3? ? 3?由y ? sin(2x ? )知,可列表如下: 4
x
y

0
-

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

?
2 2

2 2

-1

0

1

0

故函数y ? f ? x ? 在区间[0,? ]上的图象如下图所示.

5.已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数, π 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 π (1)求 f( )的值; 8 π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长 6 到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

解:(1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2? 1 ? 3 ? sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ? ? 2 ?2 ?

π? ? ωx + φ - =2sin 6 ?. ? 因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, π? π? ? ? 因此 sin -ωx+φ-6 =sin ωx+φ-6 . ? ? ? ? π? π? ? ? φ - φ - 即-sin ωxcos 6 ?+cos ωxsin? 6? ? π π =sin ωxcos?φ-6 ?+cos ωxsin?φ- 6 ?,

?

?

?

?

整理得 sin ωxcos? ?φ-
? ? π? 所以 cos?φ- 6 ?=0. ? ?

?

π? ? =0.因为 ω>0,且 x∈R, 6? ?

π π 又因为 0<φ<π,故 φ- = . 6 2
? π? ? ω x + 所以 f(x)=2sin? = 2cos ωx. ? 2? ? ?

2π π 由题意得 = 2·,所以 ω= 2.故 f(x)= 2cos 2x. ω 2 因此
?π ? ? f? ?8 ?= 2cos ? ?

π = 4

2.

五、总结反思,确立目标 三角函数专题复习主要是通过解读考试大纲,结合广东 高考近四年命题形式,使学生明确考点,准确定位,通过对 三种重要题型(三角函数定义、简单三角恒等变形、三角 函数图像与性质)的强化训练,使得学生能够达到以下目 标: ①能够熟练利用三角函数定义解决实际问题;
②能够灵活运用公式进行简单三角恒等变式并求值; ③能够熟练掌握三角函数图像及性质,并借助三角函数性 质解决问题。


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