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2012年新课标版高考题库考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积


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考点 33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、 空间几何体的表面积与体积
一、选择题 1.(2012·江西高考文科·T7)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体 的体积为( )

(A)

r />11 2

(B)5

(C)

9 2

(D)4

【解题指南】由三视图想象出几何体的直观图,由直观图求得体积. 【解析】选 D.由三视图可判断该几何体为直六棱柱,其底面积为 4,高为 1,所以 体积为 4. 2.(2012·新课标全国高考文科·T7)与(2012·新课标全国高考理科·T7) 相同 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几 何体的体积为( (A)6 ) (B)9 (C)12 (D)18

-1-

【解题指南】由三视图想象出几何体的直观图,由直观图求得体积. 【解析】选 B.由题意知,此几何体是三棱锥,其高 h=3,相应底面面积为
1 1 1 S = ? 6 ? 3=9, ?V = Sh= ? 9 ? 3=9 2 3 3 .

3.(2012·新课标全国高考理科·T11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥 的体积为(
A. 2 6

) (B)
3 6 2 (C) 3 2 (D) 2

【解题指南】思路一:取 AB 的中点为 D ,将棱锥分割为两部分,利用
V ? VB ?CDS
1 V ? S?ABC ? 2d ? VA?CDS 3 求体积;思路二:设点 O 到面 ABC 的距离为 d,利用

求体积; 思路三:利用排除法求解. 【解析】选 A.方法一:? SC 是球 O 的直径,??CAS ? ?CBS ? 90? .
? BA ? BC ? AC ? 1, SC ? 2 ,? AS ? BS ? 3 ,取 AB 的中点为 D ,显然 AB ? CD ,

AB ? CS SD,? AB ? 平面 CDS.

在 ?CDS 中, 故
sin ?CDS ?

CD=

1 3 11 cos ?CDS ? ? , DS ? 33 2 , 2 , SC ? 2 ,利用余弦定理可得

4 2 33 ,
-2-

1 3 11 4 2 2 ? S ?CDS ? ? ? ? ? 2 2 2 2 , 33
1 1 1 2 2 1 ?1 ? ?V ? VB ?CDS ? VA?CDS ? ? S?CDS ? BD + S?CDS ? AD ? S?CDS ? BA ? ? 3 3 3 2 6 . 3

方法二: ?ABC 的外接圆的半径

r?

3 6 d ? R2 ? r 2 ? 3 ,点 O 到平面 ABC 的距离 3 ,
2d ? 2 6 3 ,

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到平面 ABC 的距离为

1 1 3 2 6 2 V ? S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6 . 此棱锥的体积为 1 3 V ? S?ABC ? 2 R ? 3 6 ,排除 B, C , D . 方法三:

4.(2012·新课标全国高考文科·T8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为( (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π ) (D)6 3π

【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股 定理求得球的半径,然后利用公式求得球的体积.
4 V球 ? ? R3 ? 4 3? 3 【解析】选 B.设球 O 的半径为 R,则 R ? 1 ? ( 2) ? 3 ,故 .
2 2

5.(2012·陕西高考文科·T8)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得 到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为( )

-3-

【解题指南】结合原正方体,确定两个关键点 B1 , D1 和两条重要线段 AD1 和 B1C 的 投影. 【解析】选 B.图 2 所示的几何体的左视图由点 A,D, B1 , D1 确定外形为正方形, 判断的关键是两条对角线 AD1 和 B1C 是一实一虚,其中要把 AD1 和 B1C 区别开来,故 选 B. 6.(2012·浙江高考文科·T3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该三棱锥的体积是( )

(A)1 cm3

(B)2 cm3

(C)3 cm3

(D)6 cm3

【解题指南】由三视图可知,几何体是底面为两直角边分别是 1 和 2 的直角三角 形,高为 3 的棱锥. 【解析】选 A.三棱锥的体积为 ? ?1? 2 ? 3 ? 1 (cm3). 7.(2012·北京高考文科·T7)与(2012·北京高考理科·T7)相同 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
1 1 3 2

4 2 3 4

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 -4-

(A)28+ 6 5

(B)30+ 6 5

(C)56+ 12 5

(D)60+ 12 5

【解题指南】由三视图还原直观图,再求表面积. 【解析】选 B.直观图如图所示,
P

E

A

C B

底面是边长 AC=5,BC=4 的直角三角形,且过顶点 P 向底面作垂线 PH,垂足在
1 1 S?ABC ? ? 4 ? 5 ? 10 S?PAC ? ? 5 ? 4 ? 10 PH ?ABC 面ABC , ?平 面 2 2 AC 上, AH=2, HC=3, PH=4. , .因为 PH

所以 PH ? BC .又因为

所以 BC ? PC ,

1 S?PBC ? ? 4 ? 5 ? 10 2 所以 .在 ?PAB 中, PA ? 2 5, PB ? AB ? 41 ,取 PA 中点 E,连结 1 S?PAB ? ? 2 5 ? 6 ? 6 5 2 BE,则 BE ? 6 ,所以 .因此三棱锥的表面积为

10 ? 10 ? 10 ? 6 5 ? 30 ? 6 5 .

8.(2012·湖南高考理科·T3)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该 几何体的俯视图不可能是( )

-5-

【解题指南】 从俯视图观察可知, 正视图和侧视图不同的是 D, 正视图应有虚线. 【解析】选 D.由“正视图俯视图等长,侧视图俯视图等宽” ,知该几何体正视图 与侧视图相同,而 D 项中正视图与侧视图不同,可知选 D. 9.(2012·湖南高考文科·T4)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则 该几何体的俯视图不可能是( )

【解题指南】找出正视图和侧视图不相同的俯视图. 【解析】选 C.“正视图俯视图等长,侧视图俯视图等宽” ,本题正视图与侧视图 相同,可知选 C. 10.(2012·福建高考文科·T4)与(2012·福建高考理科·T4)相同 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( (A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱 )

【解题指南】通过了解基本空间几何体的各个视图分别是什么就能直接解题. 【解析】选 D.圆柱的三视图,分别是矩形、矩形、圆,不可能三个视图都一样, 而球的三视图可以都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图 可以都是正方形. 11.(2012·广东高考理科·T6)某几何体的三视图如图所示,

-6-

它的体积为( (A)12π

) (B)45π (C)57π (D)81π

【解题指南】根据三视图准确判断出此几何体的形状,是解决本题的关键.本题 显然是一个由同底的圆柱和圆锥组成的组合体. 【解析】选 C.此几何体是一个组合体,上方为一个圆锥,下方为一个同底的圆
1 V ? ? ? 32 ? 5 ? ? ? ? 32 ? 4 ? 57? 3 柱,所以其体积为 .

12.(2012·广东高考文科·T7)某几何的三视图如图所示,它的体积为

(A)72π

(B)48π

(C)30π

(D)24π

【解题指南】根据三视图准确判断出此几何体的形状是解决本题的关键.显然图 中几何体是一个由半球和倒立的圆锥组成的组合体. 【解析】选 C.由三视图可知该几何体是由半球和倒立的圆锥组成的组合体.
1 1 1 2 4 1 34 22 ?30 ?? 33 ? 30? . V ? ?V ?? 32 ?? 4? ? ? ?? 3 ? 53 ?? 34 ? 3 2 3 2 3 3

13.(2012·湖北高考理科·T4)已知某几何体的三视图如图所示,

-7-

则该几何体的体积为(
8? (A) 3

)
10? (C) 3

(B)3π

(D)6π

【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积的求法,解答本题的关键是正确地 想象出直观图,再补体代入体积公式求解. 【解析】选 B.解答本题可采取补上一个与它完全相同的几何体的方法,
2 ?v ∴ V ? ? ?1 ? 6 ? 3? .

1 2

二、填空题 14.(2012·湖北高考文科·T15)已知某几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积为

.

【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积求法,解答本题的关键是正确地想
-8-

象出直观图,再代入体积公式求解. 【解析】由本题的三视图可知,该几何体是由三个圆柱组合而成,其中左右两个 圆柱等体积.V=π ×22×1×2+π ×12×4=12π . 【答案】12π 15.(2012·江苏高考·T7)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
AB ? AD ? 3cm, AA1 ? 2cm

,则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为

cm3 .

【解题指南】关键是求出四棱锥的高,即点 A 到平面 BB1 D1 D 的距离.再利用公式 进行求解. 【解析】由题意知,四边形 ABCD 为正方形,连接 AC,交 BD 于 O,则 AC⊥BD.由 面面垂直的性质定理,可证 AO ⊥平面 BB1 D1 D . 四棱锥底面 BB1 D1 D 的面积为
1 ? 1 ? OA ? S 3 2 ? 2 ? 6 2,从而 VA? BB1V ? ? OA ? S长方形 ?6 A ? BB D BB DD ? 6. 1 1D D1D 3 BB1D1D 1 1 3

【答案】6 16.(2012·浙江高考理科·T11)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所 示,则该三棱锥的体积等于________ cm3 .

【解题指南】由锥体体积公式可得.
-9-

1 1? 3 ? ?2 ?1 【解析】三棱锥的体积为: 3 2 (cm3).

【答案】1 17.(2012·天津高考理科·T10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) , 则该几何体的体积为__________ m3 .

【解题指南】由三视图正确判断出组合体的形状是关键. 【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为 6,3,1 的长方体,下面是两 个球半径为 的相切的球体,所以所求的体积是:
3 2

【答案】 18.(2012·天津高考文科·T10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) , 则该几何体的体积为__________ m .
3

- 10 -

【解题指南】由三视图正确判断出组合体的形状是关键. 【解析】组合体的底座是一个棱长分别为 4,3,2 的长方体,上面是一个高为 4
S = SS= = ,所以所求的体积是 的四棱柱,底面的面积
/

3 2

=6+24=30.

【答案】30 19. (2012· 山东高考理科· T14) 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,E , F 分别为线段 AA1 , B1C 上的点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为____________.

【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积,只需知道 B1C 上的任意 一点到面 DED1 的距离相等.

【解析】?DED1 的面积为正方形面积的一半,三棱锥的高即为正方体的棱长,所
1 1 1 1 VD1 ? EDF ? VF ? DED1 ? S ?DED1 ? h ? ? DD1 ? AD ? AB ? 3 3 2 6. 以
- 11 -

1 【答案】 6

20.(2012·山东高考文科·T13)如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A ? DED1 的体积为_____.

【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积,只需知道 B1C 上的任意 一点到面 DAD1 的距离相等.

【解析】以△ ADD1 为底面,则易知三棱锥的高为 1,故
1 【答案】 6

21.(2012·安徽高考理科·T12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表 面积是 .

【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出几何体的直观图. 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,
1 S ? 2 ? ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 2 几何体的表面积是 .
- 12 -

【答案】 92 22.(2012·安徽高考文科·T12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积等于_____.

【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则得出几何体的直观图, 进而求得体积. 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,则该几何体的体积是
1 V ? ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 2 .

【答案】 56 23.(2012·辽宁高考理科·T13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为______________.

【解题指南】读懂三视图,它是长方体(挖去一个底面直径为 2 cm 的圆柱) ,
- 13 -

分别求表面积,注意减去圆柱的两个底面积. 【解析】长方体的长宽高分别为 4,3,1,表面积为 4 ? 3? 2 ? 3?1? 2 ? 4 ?1? 2 ? 38 ; 圆柱的底面圆直径为 2,母线长为 1,侧面积为 2? ?1?1 ? 2? ;圆柱的两个底面积
2 ? ? ?12 ? 2?

.故该几何体的表面积为 38 ? 2? ? 2? ? 38 .

【答案】38 24. (2012·辽宁高考文科·T13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为_______________.

【解题指南】读懂三视图,它是圆柱和长方体的组合,分别求体积即可. 【解析】该组合体上边是一个圆柱,底面圆直径为 2,母线长为 1;体积
2 2 V1V? shsh ?? ?? ?1 ?1 ?1 ?? 1? ?? S 1 ?

, 下面是一个长方体, 长、 宽、 高分别为 4,3,1, 体积 V2 ? 4 ? 3 ?1 ? 12 .

故组合体体积 V1 ? V2 ? 12 ? ? . 【答案】 12 ? ? 25.(2012·辽宁高考文科·T16)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点, PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面 积为______________. 【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系,将点 P,A,B,C,D 看作长方体的顶 点来考虑. 【解析】由题意,PA⊥平面 ABCD,则点 P,A,B,C,D,可以视为球 O 的内接长方体 的顶点,球 O 位于该长方体的对角线的交点处,那么△OAB 的面积为长方体对角 面的四分之一.
- 14 -

1 1 的 ? , ? , ?? OABD 面积 = ?AB AB? ?2 2 3, 3,PA PA? ?2 2 6 6 , ?PB PB? ?6 6 , ?? OABD 面积 = ? ?2 2 3 3? ?6=3 6=3 3 3 . 4 4

【答案】 3

3

三、解答题 26.(2012·新课标全国高考文科·T19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 1 垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

【解题指南】 (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线 与另一个平面垂直,要证平面 BDC1⊥平面 BDC,可证 DC1 ? 平面 BDC; (2)平面 BDC1 分棱柱下面部分 B ? DACC1 为四棱锥,可直接求体积,上面部分可 用间接法求得体积,从而确定两部分体积之比. 【解析】(I)由题设可知 BC ? CC1 , BC ? AC , CC1 ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACC1 A1 . 又 DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,所以 DC1 ? BC . 由题设知 ?A1DC1 ? ?ADC ? 45? ,所以 ?CDC1 ? 90? ,即 DC1 ? DC .又 DC ? BC ? C, 所以 DC1 ? 平面 BDC .又 DC1 ? 平面 BDC1 ,故平面 BDC1 ? 平面 BDC. (II)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC ? 1 .由题意得

- 15 -

1 1? 2 1 V1 ? ? ?1?1 ? 3 2 2.

又三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1 ,所以 ?

V -V1 ? :V1 =1:1

.

故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1:1. 27.(2012·江西高考文科·T19)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线 段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE, △CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求多面体 C DEFG 的体积. 【解题指南】 (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线 与另一个平面垂直,要证平面 DEG⊥平面 CFG,可证 EG⊥平面 CFG; (2)多面体 CDEFG 为四棱锥,由平面 DEG⊥平面 CFG 得到四棱锥的高,利用体 积公式求体积. 【解析】 (1)由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3,GF=4,又因为 EF=5, 所以可得 EG ? GF . 又因为 CF ? 底面EGF ,可得 CF ? EG ,即 EG⊥平面 CFG,所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)过点 G 作 GO 垂直于 EF,GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高,所以所求体积为
12 1 1 S 长方形 DEFC·GO= ×4×5× =16. 3 3 5

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