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数列求和优秀教案


题组教学:“探索—研究—综合运用”模式
——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】
1 教材的地位和作用 本节课是人教 A 版《数学(必修 5) 》第 2 章 数列学完基础知识后的一节针对数列求和 方法的解题课。 通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力, 体会裂 项相消的作用,达到提高学生运用裂项相消求和的能力,并把培养学生的

建构意识和合作, 探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前,学生学习了数列的一般概念,又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求 和等方面进行了深入的研究。在研究过程中,数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等 比数列求和的方法,在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂 差消项求和法, 本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。 本节课的内容和 方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区,学生能较好的完成本节课的教学任 务。

【方法阐释】
本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式,分为“创设情景、导入新课, 题组探索、自主探究,题组研究、汇报交流,题组综合、巩固提高,归纳总结、提升拓展” 五个教学环节. 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入, 从课本习题 的探究入手展开教学,学生能自主发现裂差消项求和法,并很快进入深层次思维状态。接下 来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。

【目标定位】
1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。进一步熟悉数列求 和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分 析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程,培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用, 使学生认识到在学习过程中的一切发现、 发明, 一切好的想法和念头都可以发扬光大。 激发学生的学习热情和创新意识, 形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4 教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。 能将一些特殊数列的求和问题转化为 裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程, 不同的数列采用不同的方法, 运用转化与 化归思想分析问题和解决问题。

【课堂设计】
一、创设情景、导入新课 教师:请同学们回忆一下,我们在推导数列求和公式时,先后发现了哪几种数列求和的 方法? 学生 1:在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的

推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生 2:在学习求和过程中,我们还发现了分组求和法和通项转换法。 我的思考:在推导等比数列求和公式时,有的小组根据等比数列求和公式的形式,想到 用裂差消项求和法。这节课就是从学生的这种想法开始,使学生体会到自己的一个想法,再 继续下去就能解决一类问题。 等比数列求和公式用裂差消项求和法证明如下:

? q ? 1.
a aq a q a q2 a q2 a q3 a q n ?1 a1 q n ? Sn ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? ) 1? q 1? q 1? q 1? q 1? q 1? q 1? q 1? q
=

a1 a q n a (1 ? q n ) ? 1 ? 1 1? q 1? q 1? q

二、题组探索、自主探究 教师:请同学们思考下列探索性题组中问题解法: 出示探索性题组(多媒体投影) 求和: 1. s n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2. s n ?

1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 1 ? ) n n ?1

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 n ? ?n ? 1? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 (2n ? 1) ? ?2n ? 1? 1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 5 5 ? 8 8 ? 11 (3n ? 1) ? ?3n ? 2?

3. s n ?

4. s n ?

学生独立思考后,各小组讨论交流各自的想法,各小组选派代表在全班交流。 学生 3;第一题去掉括号后,除第一项和最后一项外,其余各项都能消去。

sn ? 1 ?

1 n ? n ?1 n ?1
1 1 1 ? ? , n ? ?n ? 1? n n ? 1
1? ?1 1? ?1 1? 1 ? 1 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 1? 2? ? 2 3? ? 3 4? n ?1 n ?1 ? n n ? 1?

学生 4:第 2 题的每一项与第一题相同,每一项都可裂成两项, 数列通项 a n ?

所以, s n ? ?1 ?

? ?

教师:用 a n ?

1 1 1 ? ? 对吗?为什么? n ? ?n ? 2? n n ? 2

学生 5:不行了,很明显,左右是不相等的关系。

教师:怎样改变呢? 学生 5:待定系数法,配平系数,达到平衡。应该乘以

1 ! 2

和第 2 题相似,每一项也可裂成两项实现裂差消项求和。 数列的项

1 1 1 1 ? ( ? ), m ? ?m ? 2? 2 m m ? 2
1 ? 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? 2 ? 2 3? 2 ? 3 4? 2 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?

所以, s n ? =

1 1 n (1 ? )? , 2 2n ? 1 2n ? 1

学生 6:第 4 题的变形与第 3 题类似

an ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?3n ? 1??3n ? 2? 3 ? 3n ? 1 3n ? 2 ?

1?1 1? 1?1 1? 1?1 1 ? 1? 1 1 ? sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2 5 ? 3 ? 5 8 ? 3 ? 8 11 ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 2 ? 1?1 1 ? n ? ? ? ?? 3 ? 2 3n ? 2 ? 2(3n ? 2)
变式问题:求和

sn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1 ? (1 ? k ) (1 ? k )(1 ? 2k ) (1 ? 2k )(1 ? 3k ) (1 ? (n ? 1)k )(1 ? nk )

学生 7:每一项同样可裂成两项,通过裂差消项求和法求和:

sn ?

1? 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ?? ? ? ??? ? ? k ? 1 ? k ? k ? 1 ? k 1 ? 2k ? k ? 1 ? (n ? 1)k 1 ? nk ? ?

?

? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?? ? ? ? ??? ? ??? ? ??1 ? ? ?? k ?? 1 ? k ? ? 1 ? k 1 ? 2k ? ? 1 ? (n ? 1)k 1 ? nk ??

?

1 1 n (1 ? )? k 1 ? nk 1 ? nk

教师:通过以上探索性题组我们发现什么结论呢? (学生表述,教师点评,补充。 ) 结论:一般地,{ a n }是公差为 d 的等差数列, 则: S n ?

1 1 1 ? ??? a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1

?

1? 1 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? d ? a1 a 2 ? d ? a 2 a3 ? d ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? n ? ? ? ? ? ? d ? a1 a n ?1 ? a1 a n ?1

?

教师小结:分母为等差数列的某相邻两项之积,而分子为常量的分式型数列的求和,将 它的每一项分解为两项差的形式, 前一项的减数恰与后一项的被减数相同, 求和时中间项互 相抵消,这种数列求和的方法就是裂差消项求和法。 三、题组研究、汇报交流 出示研究性题组 1. 求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和。 ? n ( n ? 2) ?

2.求数列

1 1 1 1 , , , ?, ,? 的前 n 项和? 1? 5 3 ? 7 5 ? 9 (2n ? 1)( 2n ? 3)

22 42 ( 2n) 2 ? ??? 3.求和: S n ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)
(学生分组讨论解题思路,教师巡回,对个别学生问题进行指导,师生共同讨论。 ) 教师:观察研究性题 1 和探索性问题的解法有何不同呢? 学生 8:有所不同,消去的项不一样了。前面和后面各有两项没有消去,前面是两正项, 后面是两负项。 解:数列的通项公式可变形为: a n ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ? n ? ?n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?

所以:s n ? ? ?

1 ? 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1? 1?1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3? 2 ? 2 4? 2 ?3 5? 2?n n? 2?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n n ? 2 ??

1? 1 1 1 ? 1?3 2n ? 3 ? ? ? ? ?1 ? ? ?? ? ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 2 ? 2 ?n ? 1??n ? 2 ? ? ? n(3n ? 5) ? 4(n ? 1)( n ? 2)
学生 9:方法与第 1 题类似 解:通项 a n ?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 3) 4 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) 4 5 3 7 5 9 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 n (4n ? 5) ? (1 ? ? ? )? 4 3 2n ? 1 2n ? 3 3(2n ? 1)( 2n ? 3)
教师分析:研究性题 3 中数列的分子是偶数的平方,分母是奇数列相邻两项的乘积;从 上面的经验看:该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大,那就看分子能否化为常数。注 意到该数列的通项公式的特征:分子、分母同次且没有一次项; 考虑到 (2n) ? (2n) ? 1 ? 1 ? (2n ? 1)( 2n ? 1) ? 1
2 2

所以使用处理分式函数的常用手段,分离常数法即可把分子化为常数。变形如下: 学生 10:解: a n ?

( 2n ) 2 (2n ) 2 ?1?1 1 ? ? 1? (2n ?1)( 2n ?1) (2n ?1)( 2n ?1) (2n ?1)( 2n ?1)

1 1 1 ? 1? ( ? ) 2 2 n ? 1 2n ? 1
∴ Sn ? n ?

1 1 1 1 1 n = n ? (1 ? ? ??? ) ? n? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(学生说题,锻炼学生的表述能力,思维能力) 教师:以上裂项求和类型大家掌握的比较好了,我们一起看下面的问题: 四、题组综合、巩固提高 1.求数列 ?lg(1 ?

? ?

1 ? )? 前 n 项的和。 n ?
1

2.求数列 ?

?

? ? 的前 n 项和 ? n ?1 ? n ?

3.已知数列 ?a n ?, a n ?

1 求数列的前项和 s n n?n ? 1??n ? 2?

(分组讨论解题思路,教师做适当点拨和引导,学生展示解题过程。 )

n ?1 ? lg(n ? 1) ? lg n n 1 1 1 1 所以, S n ? lg(1 ? ) ? lg(1 ? ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ? ) 1 2 3 n 2 3 4 n ?1 ? l g ( ) ? l g ( ) ? l g ( ) ??? l g ( ) 1 2 3 n
学生 11: lg(1 ? ) ? lg

1 n

? (lg 2 ? lg 1) ? (lg 3 ? lg 2) ? (lg 4 ? lg 3) ? ? ? (lg(n ? 1) ? lg n) ? ? lg 1 ? lg(n ? 1) ? lg(n ? 1)
学生 12:也可不裂项变为各项相乘约项。

解: S n ? lg(1 ? ) ? lg(1 ? ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ?

1 3 2 3 4 n ?1 ? lg( ) ? lg( ) ? lg( ) ? ? ? lg( ) 1 2 3 n 2 3 4 n ?1 ? lg( ? ? ? ? ? ) ? lg(n ? 1) 1 2 3 n

1 1

1 2

1 ) n

教师: 很好, 这又是一个好想法, 课后同学们可探究一下有哪些数列求和适用这种方法。 教师:对于第 2 题,很明显,我们没法进行合并,分母也不是两个积的乘积形式,不太 符合以上方法。我们搜寻一下,以前我们见过这种式子吗?对它有什么变形方法? 学生 13:以前我们处理过这种无理式,可以分母有理化。对(大部分学生也发现了这种 方法),有理化后就变成两项之差的形式,同样可用裂差消项求和法。 (学生板演解题过程) 解:分母有理化, ∵

1 n ?1 ? n 1

? n ?1 ? n



1 2? 1

?

1 3? 2

???

n ?1 ? n
n ?1 ? n

?

?

2 ?1 ?

? ?

3 ? 2 ???

?

?

?

? n ?1 ?1
学生开始兴奋起来,课堂上气氛达到了空前高涨。 小试牛刀:在数列 ?a n ?中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 s n ? 9 ,则 n=_____

学生说明答案。 教师:对于第 3 题,我们又遇到新问题。分母变成三项积的形式,如何变形? (学生纷纷试验各种裂项的方案。 ) 学生: 还是应该考虑裂项的方法。 我最先试验的是能否像探索性题组那样分裂成

1 1 、 、 n n ?1

1 1 的和差形式。我发现 a n ? 不能直接化为它们的差,即使化为它们的差 n?n ? 1??n ? 2? n?2
也解决不了相消的问题。 教师:你们希望什么样的变形? 学生:我希望也像探索性问题一样,每一项分裂成两项的差,并且要能消项才行。 教师:对, “两项、能消项” ,你们有想法就要设法按照自己的思路试一下。 学生 14:我有了一个想法,按照“两项、能消项”的要求,

1 就不能考虑 n?n ? 1??n ? 2 ?

1 1 1 、 、 的和差形式。两项又必须相对对称的,我们先考虑最简单的两项的 n n ?1 n ? 2 1 1 变形, 中,第一项和第二项都有 2 出现,是否可考虑让作差的两个式子 ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4
变成

中都出现 2 哪? (在教师、学生的启发下,学生纷纷试验着裂项方法)

1 1 1 学生 14:我试验过了 a n ? [ ? ] ,这也符合“对称、和谐”的美 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
学原理。 解: s n ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n ?n ? 1??n ? 2?

?

? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 2 ?1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2?? ? ? 1 ?1 1 ? ? 2 ? 2 ?n ? 1??n ? 2 ? ? ?

?

?

n ?n ? 3? 4?n ? 1??n ? 2?

五、归纳总结、提升拓展 教师:应该注意什么问题? 学生: 裂差消项求和法多用于分母为等差数列的某相邻 k 项之积, 而分子为常量的分式 型数列的求和,对裂项相消法求和,其裂项可采用待定系数法确定,并注意能否正负抵消。 师生共同小结: (学生叙述,教师进行补充和整理) 教师板演要点: 1 裂项抵消法多用于分母为等差数列的某相邻项之积,而分子为常数的分式型数列的求 和。 2 裂项有困难时,可采用待定系数法来确定。 3 在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项,有困难时可多写几项,然后仔细观察 消项规律,一般地剩下的正项与负项一样多。 4 对于分母是两个二次根式的和,且被开方数是等差数列,利用分母有理化,使分母上 的和变成了分子上的差,从而因中间项相消而可求 Sn。 5 裂项相消法适用于

? c ? ? ? 其中 ?a n ?是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分 ? a n a n ?1 ?

无理数列、含阶乘的数列等。 教师:若求数列 1? 4,2 ? 5,3 ? 6,?, n ? ?n ? 3?,?前n项和s n 呢 ? 还能用裂项相消法 吗?为什么?请同学们课下探究以下。 (为后面数列的分组求和的教学做铺垫) 教师:今天这节课我们主要研究了一些非等差(比)的特殊数列求和方法。同学们回忆一 下这些数列求和的指导思想是什么? 学生:将部分数列求和通过变形转化为裂项求和。 教师:对,解决这些数列求和问题的思路是将它们转化基本的裂差消项求和,从而解决 问题。这种思想也是我们数学解题中经常用到的一种思想——化归思想。 (给学生时间回顾以上内容及方法。)

教师:能否总结一下裂项相消法所应用的具体公式? 学生:我们所用的裂项公式有: (1)

1 1 1 1 1?1 1 ? , ? ? ? ? ? ? n ?n ? 1? n n ? 1 n ?n ? k ? k ? n n ? k ?
1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
? 1 1? 1 1 ? ? ? n ?n ? 1??n ? 2? 2 ? n ?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2 ? ? ?

(2)

(3)

(4)

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

(5)

n 1 1 ? ? ?n ? 1?! n! ?n ? 1?!

教师课堂总结:裂差消项求和法:若一个数列的每一项都可以化为两项之差,并且前一 项的减数恰与后一项的被减数相同,求和时中间项互相抵消。以上题目虽然各有其特点,但 总的原则是要善于改变原数列的形式结构, 使其能进行消项处理, 只要很好地把握这一规律, 就能使数列求和化难为易,迎刃而解。 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。 只剩下有限的几项。 注意:余下的项前后的位置前后是对称的,余下的项前后的正负性是相反的。 教师:最后,留几个问题供大家课后继续研究,希望大家能给出解答。大家仔细观察, 和习题中的题目具有哪些相似之处, 联系在哪里?又有哪些不同, 可以类比的方法是哪些? 1.求和: 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

2.求数列 a n ?

?2n ? 1?2 ?2n ? 1?2
8n
2 2

8n

的前 n 项和?

(an ?

?2n ? 1? ?2n ? 1?

?

?2n ? 1?2 ? ?2n ? 1?2 ?2n ? 1?2 ?2n ? 1?2

?

?2n ? 1?

1

2

?

?2n ? 1?2

1



3.求和: s n ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 ? 3 ? 4 2 ? 3 ? 4 ? 5 3 ? 4 ? 5 ? 6 n?n ? 1??n ? 2?(n ? 3)

【教有所思】
本节课心智教育方式之题组教学法。充分体现学生是主体,问题是中心,探索是主线。 课堂是师生共同参与课堂活动的舞台。 “问题”是解决人类思维的一种普遍的表现形式,也 是心理学家们热衷的重要研究课题之一。 在数学教学中, 从课堂提问到新概念的形成与确立, 新知识的巩固与应用和学生思维方法的训练与提高,以及实际应用能力和创新能力的增强。 无不从“问题”开始,在研究问题﹑解决问题的过程中努力实现。因此,课堂教学实质上就 是依据教材内容和学生实际, 师生重组旧知识, 不断发现问题﹑研究问题﹑解决问题的活动。

老师的作用是如何将学生的思路所隐藏的数学思想和方法挖掘出来, 深化并完善它。 小组讨 论的方式有利于培养学生的合作精神,互相启迪,互相促进。从而在活动的过程中不断培养 学生的科学素养和创新思维习惯。 本节课通过逐步引导,层层设疑,让学生经历裂差消项求和的过程,使教材更生动,更 具亲和力。 在裂差消项求和法的教学设计中, 设置了恰当的教学情境, 引导学生合作与交流, 强化学生的合作意识、协作精神,收到了很好的效果,学生学会了如何转化。 新课程的编排特点和学习方式的变化, 使课堂教学方法发生了重大变化。 新课程提倡教 学目标综合化、多元化和均衡性,知识生活化,使学生获得对数学知识理解的同时,在思维 能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。 本节内容设计突出了某些重要的数学思想方法,如:类比思想,归纳思想,特殊到一般 的思想方法。充分注意了学生的观察,猜想,发现,归纳,总结等学习过程的体验,强化了 归纳思想的具体应用。突出体现了特殊到一般的思想,突出了通过对特殊数列的各项关系, 运算, 性质的研究推广到一般数列相应问题研究的思想。 借助函数的背景和研究方法研究有 关数列的问题,体现了数学知识的内在关联,培养学生用已知去研究未知的能力。 最后的小结要进一步使学生明白: 裂差消项求和法, 如果数列的通项可 “分裂成两项差” 的形式,且相邻相邻项分裂后相关联,常选用裂项相消法求和,体现了知识的连贯性,有助 于学生构建知识网络。


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