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3.1.1 方程的根与函数的零点


思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

方程 函数 函 数 的 图 象

X2-2x-3=0

X2-2x+1=0 y= x2-2x+1
y

X2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y


y= x2-2x-3
.
-1

y
2

.
-1 -2

.0
-3 -4

1 1 2

.

.
x
-1

2 1

. . . .
2

.
3 2

5

3

.

4

.
1

.
2

.

0

.

1

x
-1

1

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0
没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
注意:
零点指的是一个实数

等价关系: 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

例1:求下列函数的零点.

(1)y=-x2-x+20;

(2)y=2x-1-1;

(3) y ? 1 ? log2 ( x ? 3)

探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3在 区间 ? ?2,1? 上有零点。计算 f (?2) 和 f (1) 的乘 积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间
y 5 4
3

2 1
-2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 3 4 5 x

? 2, 4? 上是否也具有这种特点呢?

y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数 结 论 并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。



y

y

a o
y

b x

a
y

o

b x

a

o

b

x

a

o

b

x

判断:已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断 (5) 的曲线,判断下列结论,正确的是_________.

(1)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有且仅 有一个零点;
(2)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)无零点;

(3) f ( x)在(a, b)内有零点,必有 f (a) ? f (b) ? 0
(4)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有零点;
(5)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有零点;

例2: 函数f ( x) ? e x ? x ? 2的零点所在的一个区间 是() A.(?2,?1) B.(?1,0) C.(0,1) D.(1,2)

例3: (1)判断函数f ( x) ? lg x ? 2 x ? 6的零点的个数.
(2)判断函数f ( x) ? ? x ? 3x ? 5的零点的个数.
3

课堂练习:
1 1.函数 f ( x) ? x ? 零点的个数是 (C) x
A. 0 B. 1
2

C. 2

D.无数个

2.若函数f ( x) ? 2ax ? x ? 1在(0,1)内恰有一个零点,

(B) 则a的取值范围是

A.a ? ?1

B.a ? 1

C. ? 1 ? a ? 1

D.0 ? a ? 1

课堂小结:
1、函数零点的定义;

2、函数的零点与方程的根的关系; 3、函数零点的存在性定理。

求函数零点的方法: (1)方程法 (2)图象法

在区间(2,3)内零点的近似值.
区间 (2,3) 中点 的值 2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 … 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

(2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (?,?)

求函数f ? x ? ? ln x ? 2x ? 6在区间? 2, 3? 零点的近似值 (. 精确度为0.01)

区间
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5, 2.625 ) ) (2.5 ,2.5625 (2.53125,2.5625)

中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875

中点函数 区间长度 近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0312 5 0.01562 5 0.00781 25

2.5390625 (2.53125, 2.546875 ) (2.53125 ,2.5390625 ) 2.53515625


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