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【高三总复习】7-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图(人教B版) 含解析


7-1 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 基础巩固强化 1.(2011· 广东佛山质检)若一个圆台的正视图如图所示, 则其侧面积 等于( )

A.6 C.3 5π [答案] C [解析]

B.6π D.6 5π

由正视图可知,该圆台的上、下底面半径分别是 1、2,

圆台的高为 2,故其母

线长为 ?2-1?2+22= 5,其侧面积等于 π· (1+ 2)· 5=3 5π. 2.(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积 为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧(左)视图的 面积为( )

A.12 C.8 3 [答案] D

B.8 D.6 3

3 [解析] 设此三棱柱底面边长为 a, 高为 h, 则由图示知 2 a=2 3, 3 ∴a=4,∴12 3= 4 ×42×h,∴h=3, ∴侧(左)视图面积为 2 3×3=6 3. 3.(2011· 广东惠州一模)已知△ABC 的斜二侧直观图是边长为 2 的 等边△A1B1C1,那么原△ABC 的面积为( A.2 3 C.2 6 [答案] C [解析] 如图: B. 3 D. 6 )

a 2 在△A1D1C1 中,由正弦定理 2π= π,得 a= 6, sin 3 sin4 1 故 S△ABC=2×2×2 6=2 6. 4.(文)(2011· 山东烟台一模)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和 底面边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方

形,该三棱柱的侧视图面积为(

)

A.2 3 C.2 2 [答案] A

B. 3 D.4

[解析] 该三棱柱的侧视图是一个矩形,矩形的高是侧棱长 2,底 π 边长为点 C 到 AB 的距离 2sin3= 3,故其侧视图的面积为 2 3. (理)(2012· 河南六市联考)如图为一个几何体的三视图, 正视图和侧 视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的全面积 为( )

A.14 3 C.12+2 3

B.6+2 3 D.16+2 3

[答案] C [解析] 该几何体是一个正三棱柱,设底面正三角形边长为 a,则 3 3 2 a = 3 , ∴ a = 2 , 又其高为 2 , 故其全面积 S = 2 × ( × 2 )+3×(2×2) 2 4 =12+2 3. 5.(2011· 广东文,7)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何 底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条 数共有( A.20 C.12 [答案] D [解析] 从正五棱柱的上底面 1 个顶点与下底面不与此点在同一 ) B.15 D.10

侧面上的两个顶点相连可得 2 条对角线,故共有 5×2=10 条对角线. 6.(文)(2012· 河北郑口中学模拟)某几何体的主视图与左视图如图 1 所示,若该几何体的体积为3,则该几何体的俯视图可以是( )

[答案] D [解析] 由主视图及俯视图可知该几何体的高为 1,又∵其体积为

1 1 ,故为锥体,∴ S 底=1,A 中为三角形,此时其底面积为 ,舍去;B 3 2 1 π 为4个圆,底面积为4,也舍去,C 为圆,其面积为 π 舍去,故只有 D 成立. 1 [点评] 如果不限定体积为3 ,则如图(1)在三棱锥 P-ABC 中, AC⊥BC,PC⊥平面 ABC,AC=BC=PC=1,则此三棱锥满足题设要 求,其俯视图为等腰直角三角形 A;如图(2),底半径为 1,高为 1 的 圆锥,被截面 POA 与 POB 截下一角,OA⊥OB,则此时几何体满足题 设要求,其俯视图为 B;如图(3),这是一个四棱锥,底面是边长为 1 的正方形,PA⊥平面 ABCD,此几何体满足题设要求,其俯视图为 D.

(理)(2011· 北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形,它的正 (主)视图和俯视图如图所示,则它的体积是( )

3 3 32 A. 2 +25π

32 B.3 3+25π

32 C.9 3+25π [答案] C

128 D.9 3+ 25 π

[解析] 由三视图知,该螺栓的上部是一个底半径为 0.8,高为 2 的圆柱,下部是底面边长为 2 ,高为 1.5 的正六棱柱,故体积 V= 3 32π π×0.82×2+6× 4 ×22×1.5=9 3+ 25 ,故选 C. 7.(文)(2012· 北京东城综合练习)若某空间几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积是________.

[答案] 1 [解析] 由三视图知原几何体是如图所示的三棱柱. 1 则 V=Sh=2× 2×1× 2=1.

(理)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积 为____________m3.

[答案] 4 [ 解析 ] 由几何体的三视图知,原几何体是两个长方体的组合

体.上面的长方体的底面边长为 1,1,高为 2,体积为 2;下面长方体 底面边长为 2,1,高为 1,体积为 2. ∴该几何体的体积为 4. 8.(2012· 内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,且 这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ________.

[答案] 16π [解析] 由三视图知,该几何体是一个正三棱柱,底面正三角形边 2 2 3 长为 3,高为 2,故其外接球半径 R 满足 R2=(2)2+(3× 2 ×3)2=4, ∴R=2, ∴S 球=4πR2=16π. 9.(2011· 安徽知名省级示范高中联考)在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,得 四边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; 6 ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 2 . 其中正确的是________.(请写出所有正确结论的序号) [答案] ②③④⑤ [解析] ∵平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1, 平面 BFD1E∩平面 ADD1A1 =D1E,平面 BFD1E∩平面 BCC1B1=BF,∴D1E∥BF;同理 BE∥FD1,

∴四边形 BFD1E 为平行四边形,①显然不成立;当 E、F 分别为 AA1、 CC1 的中点时,易证 BF=FD1=D1E=BE,∴EF⊥BD1,又 EF∥AC, AC ⊥ BD ,∴ EF ⊥ BD ,∴ EF ⊥平面 BB1D1D ,∴平面 BFD1E ⊥平面 BB1D1E,∴②④成立,四边形 BFD1E 在底面的投影恒为正方形 ABCD. 当 E、F 分别为 AA1、CC1 的中点时,四边形 BFD1E 的面积最小,最小 6 值为 2 . 10.(2012· 沈阳质量监测)已知一个四棱锥 P-ABCD 的三视图(主 视图与左视图为直角三角形, 俯视图是带有一条对角线的正方形)如下, E 是侧棱 PC 的中点.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证:平面 APC⊥平面 BDE. [解析] (1)由三视图可知,AB=BC=1,PC⊥平面 ABCD,且 PC =2,

又底面 ABCD 是正方形,故 S 正方形 ABCD=1, 1 2 所以 VP-ABCD=3×1×2=3. (2)证明:因为底面 ABCD 是正方形, 所以对角线 AC⊥BD, 又 PC⊥平面 ABCD,而 BD?平面 ABCD, 故 BD⊥PC, 又 PC∩AC=C,所以,BD⊥平面 APC. 又 BD?平面 BDE, 故平面 APC⊥平面 BDE. 能力拓展提升 11.正四面体 ABCD 的棱长为 1, G 是△ABC 的中心, M 在线段 DG 上,且∠AMB=90° ,则 GM 的长为( )

1 A.2 3 C. 3 [答案] D

2 B. 2 6 D. 6

[解析] ∵G 是正四面体 ABCD 的面 ABC 的中心,M 在 DG 上, ∴MA=MB, 2 又∠AMB=90° ,AB=1,∴MA=MB= 2 , 3 又 AG= 3 ,∴MG= MA2-AG2 =
? 2?2 ? 3?2 6 ? ? -? ? = . 6 ? 2? ? 3?

12.(2011· 辽宁文,10)已知球的直径 SC=4,A、B 是该球球面上 的两点, AB=2, ∠ASC=∠BSC=45° , 则棱锥 S-ABC 的体积为( 3 A. 3 4 3 C. 3 [答案] C [解析] 2 3 B. 3 5 3 D. 3 )

如右图所示,连接 OA、OB(O 为球心). ∵AB=2,∴△OAB 为正三角形. 又∵∠BSC=∠ASC=45° , 且 SC 为直径,∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形. ∴BO⊥SC,AO⊥SC. 又 AO∩BO=O,∴SC⊥平面 ABO. 1 ∴VS-ABC=VC-OAB+VS-OAB=3· S△OAB· (SO+OC) 1 3 4 3 =3× 4 ×4×4= 3 ,故选 C. 13.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1 容器内灌 进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾 斜度的不同,有下列四个命题:

①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E∈AA1 时,AE+BF 是定值. 其中正确命题的序号是________(填上所有可能的序号). [答案] ①③④ [解析] 由于容器一边 BC 固定于水平地面上,所以随着容器倾斜 度的变化, 水面四边形 EFGH 的一组对边 EH 和 FG 始终与 BC 平行且 相等,而另一对边 EF 与 GH 是变化的,因此 A1D1 与水面平行,且水 的部分是一个棱柱(BC 为垂直于两底的侧棱),由于水的体积不变,故 棱柱的底面面积不变,因此 AE+BF 为定值. 6 14.(文)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为5π,半径为 10cm 的扇 形,则圆锥的体积为________. [答案] 96πcm3 6π [解析] 扇形弧长 l=10× 5 =12π, 设圆锥底面半径为 R, 高为 h, 则 2πR=12π,∴R=6,∴h= 102-62=8, 1 ∴体积 V=3πR2h=96π.

(理)(2011· 南京市调研)如图, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边 长为 2cm,高为 5cm,则一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行 两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.

[答案] 13 [解析] 如图,将三棱柱侧面 A1ABB1 置于桌面上,以 A1A 为界, 滚动两周(即将侧面展开两次), 则最短线长为 AA″1 的长度, ∴AA1=5, AA″=12,∴AA″1=13.

15.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD =2MA.

(1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. [解析] (1)证明:∵MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, ∴PD⊥平面 ABCD, 又 BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC, ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥DC. ∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, ∴GF∥BC,∴GF⊥平面 PDC. 又 GF?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PDC. (2)不妨设 MA=1,∵四边形 ABCD 为正方形,∴PD=AD=2, 又∵PD⊥平面 ABCD, 1 8 所以 VP-ABCD=3S 正方形 ABCD· PD=3. ∵MA⊥平面 ABCD,∴MA⊥AD, 又 ABCD 为正方形,∴BC⊥AD,∴AD⊥平面 MAB, 又 PD∥MA,所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离,
? 1 ?1 2 三棱锥 VP-MAB=3×?2×1×2?×2=3. ? ?

所以 VP-MAB:VP-ABCD=1:4. 16.(文)下图是一几何体的直观图和三视图.

(1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥平面 PCD; (2)求几何体 BEC-APD 的体积. [解析] (1)证明:由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥平面 ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4. ∵PA=AD,F 为 PD 的中点,∴PD⊥AF. 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,∴CD⊥平面 PAD, 又 AF?平面 PAD,∴CD⊥AF.∴AF⊥平面 PCD. 1 1 1 1 (2)VBEC - APD = VC - APEB + VP - ACD = 3 × 2 (4 + 2)×4×4 + 3 × 2 80 ×4×4×4= 3 . (理)多面体 PABCD 的直观图及三视图如图所示,E、F 分别为 PC、 BD 的中点.

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:PA⊥平面 PDC. [证明] 由多面体 PABCD 的三视图知,该几何体是四棱锥,四棱 锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD 是等腰直 角三角形,PA=PD= 2,且平面 PAD⊥平面 ABCD.

(1)连接 AC,由 ABCD 为正方形知,F 是 AC 的中点, 又∵E 是 PC 的中点, ∴在△CPA 中,EF∥PA, 又 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA. π ∵△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD=2.

即 PA⊥PD.又 CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PDC.

1.(2012· 湖南文,4)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示, 则该几何体的俯视图不可能 是( ... )

[分析] 由正视图和侧视图知,该几何体是两个柱体的组合体,可 对照选项逐个判断求解. [答案] C [解析] 若俯视图为选项 A,则几何体上下两部分都是圆柱;若俯 视图为选项 B, 则几何体上部为正四棱柱, 下部为圆柱; 若俯视图为 D, 则几何体下部是一个正四棱柱,上部是一个直三棱柱,三棱柱的底面 为直角三角形,两直角边分别与正视、侧视的投射线平行;俯视图若

为 C 选项,则其正视图应该是 以选 C.

侧视图与正视图不全等,所

2.(2011· 北京文,5)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表 面积是( )

A.32 C.48 [答案] B [解析]

B.16+16 2 D.16+32 2

由三视图知原几何体是一个底面边长为 4,高是 2 的正四棱锥.如 图: ∵AO=2,OB=2, ∴AB=2 2. 1 又∵S 侧=4×2×(4×2 2)=16 2, S 底=4×4=16, ∴S 表=S 侧+S 底=16+16 2. 3.(2012· 保定市一模)一个棱锥的三视图如图 (尺寸的长度单位为

m),则该棱锥的体积是(单位:m3).(

)

A.4+2 6 2 C.3 [答案] D

B.4+ 6 4 D.3

[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形, 及正视图为等腰 直角三角形可知, 该几何体可看作边长 AB=BC= 5, AC=2 的△ABC 绕 AC 边转动到△PAC 位置(平面 PAC⊥平面 ABC)所形成的几何体, 故 1 1 4 其体积 V=3×(2×2×2)×2=3.

4.(2011· 皖南八校联考)已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示, 俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的左视图可能为( )

[答案] B [解析] 由三视图间的关系, 易知其左视图是一个底边长为 3, 高 为 2 的直角三角形,故选 B. [点评] 由题设条件及主视图、俯视图可知,此三棱锥 P-ABC 的 底面是正△ABC,侧棱 PB⊥平面 ABC,AB=2,PB=2.


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