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1.1.1《任意角》课件 新人教版必修4

时间:2015-03-26


1.1.1

任意角

教学目标: 1、要求学生掌握用“旋转”定义角的概念, 2、理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角; 并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 教学重点: 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点: “旋转”定义角 课标要求: 了解任意角的概念并解决实际问题。<

br />
一、回顾旧知: 1、角的定义: 定义1: 从一点出发的两条射线所组成的图形 B 角的范围: 0 360

~

?

O
2、角的表示:
?AOB,
??

A

? 简记:

新课引入
1.角是平面几何中的一个基本图形,角是可以度量其大小的. 在平面几何中,这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但 它的弊端在于“狭隘”。 2.体操是力与美的结合,也充满了角的概念.2002年11月22日, 在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中,“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”, 震惊四座,这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
3.过去我们学习了0°~360°范围的角,但在实际问题中还会 遇到其他角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常 听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说.再如钟表的 指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转所成的角,不全 是0°~3600范围内的角.因此,仅有0°~360°范围内的角是 不够的,我们必须将角的概念进行推广.

角的概念的推广 :
思考1:如图,一条射线的端点是O,它从起始位 置OA旋转到终止位置OB,形成了一个角α ,其中 点O,射线OA、OB分别叫什么名称?

概念推广:“旋转”形成角
终边

B α O 顶点

始边
A

角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形.

为了区分形成角的两种不同的旋转方向, 可以作怎样的规定?如果一条射线没有 作任何旋转,它还形成一个角吗?

规定:
任 意 角
正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:一条射线没有作任何旋转时 形成的角
对待角的定义注意: 一要明确旋转方向:二要明确旋转大小。

思考:终边与始边重合的角是零角吗?

思考下面的角度如何表示?
(1)你的手表慢了5分钟,想将它校准, 分针应该旋转多少度? -30° (2)假如你的手表快了2.5小时,想将它校准, 分针应该旋转多少度?

900°

?

思考4:度量一个角的大小,既要考虑旋转方 向,又要考虑旋转量,通过上述规定,角的 范围就扩展到了任意大小. 对于α=210°, ? ? 660°,你能用图形表示这 =-150°,=- 些角吗?你能总结一下作图的要点吗?
画图表示一个大小一定的角, 先画一条射线作为角的始边, 再由角的正负确定角的旋转方 γ 向,再由角的绝对值大小确定 角的旋转量,画出角的终边, 并用带箭头的螺旋线加以标注. B
B2 α O β
1

A

思考5:任意两个角的数量大小可以相加、 相减,如 50°+80°=130°, 50° -80°=-30°,你能解释一下这两个式 子的几何意义吗? 以 50°角的终边为始边,逆时针(或顺 时针)旋转80°所成的角.

知识探究:象限角

思考1:为了进一步研究角的需要,我们 常在直角坐标系内讨论角,并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合,那么对一个任意角,角的终边 可能落在哪些位置? y o
x

象限角:
如果角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的 角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于如何 象限,或称这个角为轴线角. 那么下列各角:-50°,405°,210°, -200°,-450° 分别是第几象限的角?

y
x o -50° o

y
210° x

y

y

y x -450° x o

x
o -200°

o 405°

典型例题
例1 指出下列各角是第几象限内的角
(1) (4)

? 2134 56? 解:(1)? ?530 ? ?3600 ? 3070 ? ?530 为第四象限角 (2) 0 0 0 ? ?260 ? ?360 ? 100 ? ?2600 是第二象限角
2134 56?
0

? 53

0

(2)

? 2600

(3)

(5)

0

1320

0

(3)

?1320 ? 3 ? 360 ? 240 ?1320 是第三象限角
0 0 0

0

(4) ? 2134 56? ? 5 ? 360
0

0

? 334 56?
0

(5)

? ?2134 56?是第一象限角
0

0 ? ?2134 56? ? ?6 ? 3600 ? 250 4?

? 2134 56?是第四象限角
0

思考2:锐角与第一象限的角是什么逻辑关
系?钝角与第二象限的角是什么逻辑关系? 直角与轴线角是什么逻辑关系?

思考3:第二象限的角一定比第一象限的角
大吗? 象限角只能反映角的终边所在象限,不能反 映角的大小.

思考4:在直角坐标系中,135°角的终边
在第几象限?终边在该位置的角一定是 135°吗?
y

x o

知识探究:终边相同的角

思考1:-32°,328°,-392°是第几 象限的角?这些角有什么内在联系?
y -392° 328° x o -32°

思考2:与-32°角终边相同的角有多少个?
它们正好相差整数圈

这些角与-32°角在数量上相差多少?

思考3:所有与-32°角终边相同的角,连同
-32°角在内,可构成一个集合S,你能用描述法 表示集合S吗?
S={ β| β= -32° +k?360° ,k∈ Z}

思考4:一般地,所有与角α终边相同的角,连

同角α在内所构成的集合S可以怎样表示?

一般地,所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内所 构成的集合S都可以做如下表示。 S={β|β=α+k· 360°,k∈Z},即任一与α终边相 同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
y

o

x

注意:(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边 一定相同; (2)终边相同的角有无数个,他们相差360度的整数倍。

思考5:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴正半轴、负半
轴上的角分别如何表示? x轴正半轴:{α|α= x轴负半轴:{α|α= y轴正半轴:{α|α= y轴负半轴:{α|α= k·360°,k∈Z } 180°+k·360°,k∈Z} 90°+k·360°,k∈Z } 270°+k·360°,k∈Z }

思考6:
终边在x轴、y轴、坐标轴上的角的集合分别如何表示?

解:在0°~360°范围内,在终边在y轴上的角有两个,90°,270°
∴与90°角终边相同的角构成的集合

S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} {偶数}∪{奇数} ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} ∴与270°角终边相同的角构成的集合 ={整数} S2={β| β=2700+K?3600,K∈Z} 0 0 ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z} 所以 终边落在y轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} ∪{β| β=900+(2K+1)1800 ,K∈Z} ={β| β=900+K?1800 ,K∈Z} 终边在y轴上:S={α|α=90°+k· 180°, k∈Z}. 终边在x轴上:S={α|α=k?180°,k∈Z};
90 +K?360 Y

X
O 2700+k?3600

终边在坐标轴上: S={α |α =k·90°,k∈Z}

思考7:第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示?

第一象限: S={α | k·360° < α < 90°+k·360°,k∈Z}; 第二象限: S={α | 90°+k·360°<α< 180°+k·360°,k∈Z}; 第三象限: S={α | 180°+k·360°<α< 270°+k·360°,k∈Z}; 第四象限: S={α | -90°+k·360°< α < k·360°,k∈Z}.

120。y
30
o



135



y

45。
x

x

o

{? | 30 ? k 360 ? ? ? 120 ? k 360, k ? Z} {? |135 ? k 360 ? ? ? 405 ? k 360, k ? Z}


变式训练1、
如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

0 (1) y

?? | ? ? 360
x

45

0
0

? 450 ? ? ? ? ? 3600 ? 900

(? ? ? )

?

0 (2)

45

0

x

?? | ? ?180

0

? 45 ? ? ? ? ?180 ? 90
0 0

0

(? ? ? )

?

变式训练2:

例3、若角?是第一象限内的角,问 2? , 2 是第几象限的角? , 解: (1) ? ?是第一象限的角
?

?? ? 3600 ? ? ? ? ? 3600 ? 900 ?? ? 7200 ? 2? ? ? ? 7200 ? 1800 ?? ? 3600 ? 2? ? 2? ? 3600 ? 1800

(? ? ? ) (? ? ? ) (? ? ? )

故 2?是第一或第二象限的角 或是终边重合于 Y轴的正半轴的角

例3、若角?是第一象限内的角,问 2? , 2 是第几象限的角? (2) ? ?是第一象限的角 ,
?

?? ? 3600 ? ? ? ? ? 3600 ? 900 (? ? ? ) ? 0 ?? ? 180 ? ? ? ? 180 0 ? 45 0 (? ? ? ) 2 10当?为偶数时 , 令? ? 2n (n ? ? ),得 ? 0 ? n ? 360 ? ? n ? 360 0 ? 45 0 (n ? ? ) 2 ?
20当?为奇数时 , 令? ? 2n ? 1 (n ? ? ),得
这表明 是第一象限的角 ; 2

? n ? 360 ? 180 ?
0 0

?

这表明 是第三象限的角 ; 2

?
0

2

? n ? 360 0 ? 180 0 ? 45 0

(n ? ? )

综合1 ,2 可知

0

?

2

是第一或第三象限的角 .

知识拓展:

1 若?是锐角
(1) 则

?
2

是第



象限角 ;

(2) 则 2?是 一或二象限角或终边与 Y轴正半轴重合

2 若?是钝角
(1) 则

?

2

是第



象限角 ;

(2) 则 2?是 三或四象限角或终边与Y轴负半轴重合

例 4、

若 是第三象限内的角,则 90

?

0

??

是(

C



A 第一象限内的角 C 第三象限内的角

B 第二象限内的角

D 第四象限内的角

分析 : 只需求出 900 ? ?的范围,即可判断.

解: ?? ? 3600 ? 1800 ? ? ? ? ? 3600 ? 2700 (? ? ? ) 0 0 0 0 ? ?? ? 360 ? 270 ? ?? ? ?? ? 360 ? 180 (? ? ? ) 即 ? ? 3600 ? 2700 ? ?? ? ? ? 3600 ? 1800 (? ? ? ) 0 0 0 0 即 ? ? 360 ? 90 ? ?? ? ? ? 360 ? 180 (? ? ? ) 即 ? ? 3600 ? 1800 ? ?? ? 900 ? ? ? 3600 ? 2700 (? ? ? )

练习

?为锐角 ,则
0

(1) ? ? 3600 ? ? (? ? ? )是第 象限角 . (2) ? ? 360 ? ? (? ? ? )是第 象限角 . 四 (3) (2? ? 1) ? 180 ? ? (? ? ? )是第 . 三象限角
0



(4) (2? ? 1) ? 180 ? ? (? ? ? )是第 . 二象限角
0

小结作业
1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值. 把角放在 直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一 的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意 义. 2.终边相同的角有无数个,在0°~360°范围内与已知角 β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°,若所得 的商为k,余数为α(α必须是正数),则α即为所找的 角.

作业: 课本P5 练习 :3,4,5.

A.非常满意

B.满意

C.一般

思考2:在齿轮传动中,被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.一般地,一条射线 绕其端点旋转,既可以按逆时针方向旋 转,也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角,与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等?

变式训练1:

1

95



30



236 50’
第三象限



第二象限

第一象限

变式训练2:
1、
与 ? 5170 的终边相同的角可表示为( C )
0 0 ?? ? z ? ? ? 360 ? 517 A

B C D

? ? 3600 ? 1570 ?? ? z ?
? ? 3600 ? 2030 ?? ? z ?

? ? 360 ? 203 ?? ? z ?
0 0

例5

? 设A ? ?锐角
(1)
(2)

? D ? ?第一象限的角
A?B ?
A ?C ?

? B ? ?钝角

?

C? 小于90 的角
0

?

?

A A

(3)

A?D ?

?? | ? ? 360 ? ? ? ? ? 360 ? 90
0 0

(4)

C? D ?

0

? ? ? ,? ? 0?

例6、 四个集合

A ? ? | ? ? 2? ? 360
0 0

? B ? ?? | ? ? ? ? 360 C ? ?? | ? ? ? ? 180 D ? ?? | ? ? ? ? 90
0

0

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

写出A、B、C、D四个集合之间的包含关系。

解:
设S

A?B?C? D
? ?x1x ? ? ? 3600 ?16900 ,? ? z?

则S中的最小正角x=

讨论: 四个集合

A ? ? | ? ? 2? ? 360 ? 60
0 0 0 0 0

? B ? ?? | ? ? ? ? 360 ? 60 C ? ?? | ? ? ? ? 180 ? 60 D ? ?? | ? ? ? ? 90 ? 60
0 0

0

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

写出A、B、C、D四个集合之间的包含关系。

解:

A?B?C? D

知识拓展:

(1) 若角 与角? 的终边关于X轴对称,则 ? ? ? ? 3600 ? ?

? ? ? ?

? ??

(2) 若角 与角? 的终边关于Y轴对称,则

? ? ? ? 3600 ? 1800 ? ? ? ? ?

(3) 若角 与角? 的终边在同一条直线上,则

? ? ? ? 1800 ? ? ? ? ?

(4) 若角 与角? 的终边互相垂直,则

? ? ? ? 3600 ? ? ? 900 ? ? ?

例4、 已知: -90

0

? ? ? 90 ,?90 ? ? ? 90 ,
0 0 0

2 分析: 形如 ' A ? B'的式子 求范围 , 一般先 分别求出 ? B与A的 范围, 再相加 .由于A的范围 已知 , 所以我 们只要能求 出 ? B的 范围, 就能解 出本题 . ? 0 0 0 0 ? ? 45 ? ? 45 ? 90 ? ? ? 90 解: ? 2 ? 0 ? ? 45 ? ? ? 450 2

求? -

?

的范围 .

又?
?
0 0 0

- 90 ? ? ? 90
0

0

? 45 ? ( ?90 ) ? ? 即 ? 135 ? ?

?

?

2

? ? ? 450 ? 900 ? ? ? 1350

2


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