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2012江苏高考数学试卷及其答案(理科)


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绝密★启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 准考证号 1.本

试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:
姓名

棱锥的体积 V ? 1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高.
3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 ...
★此卷上交考点保存★

相应位置上. .....
2 4} 4 6} 1.已知集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,则 A ? B ?

▲ .

2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从 该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.
b 的值 b 3.设 a , ? R , a ? bi ? 11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? 开始

1 ? 2i

为 ▲ .

k←1

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 5.函数 f ( x) ?
1 ? 2log6 x 的定义域为

▲ .

k2-5k+4>0

N

k←k +1

Y 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的 输出 k 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8
S 数学Ⅰ试卷 第 1 页 (共 16 页)

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的概率是 ▲ .
结束 (第 4 题)

D 7.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 12cm ,

C1 B1
C

则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

A1

D x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 ? 2 ? 1 的离心率 m m ?4 A B (第 7 题) 为 5 ,则 m 的值为 ▲ .

9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ?
??? ??? ? ?

2 , ? 2 ,点 BC

E 为 BC 的中点, ▲ .
E

D

F

C

??? ??? ? ? 2 ,则 AE ? BF 的值是

1] 10.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 上,

? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 0 ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?

B A ?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ? 2 ? (第 9 题)

则 a ? 3b 的值为 ▲ . 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ?
? ?? 4 ?? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为 12 ? 6? 5 ?

▲ .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最 大值是 ▲ .
? 13.已知函数 f (x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的 b m 解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ . b c c 14.已知正数 a , , 满足:5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 b 的取值范围是 ▲ .

a

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
S 数学Ⅰ试卷 第 2 页 (共 16 页)

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15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?
5 ,求 5

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

A 的值.

16. (本小题满分 14 分) D AB CC 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 1 1 ? AC1 , ,E 分别是棱 BC , 1 上的点 (点 D 不 1 F 同于点 C) ,且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点. A1 C1 F 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; B1 E (2)直线 A1F // 平面 ADE.

A D B
S 数学Ⅰ试卷 第 3 页 (共 16 页)

C

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(第 16 题)

17. (本小题满分 14 分) 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长 度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
y ? kx ? 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 20

k 与发射方向有关.炮的射程是指

炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它 的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
y(千米)

O

(第 17 题)

x(千米)

S

数学Ⅰ试卷 第 4 页 (共 16 页)

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18. (本小题满分 16 分) 若函数 y ?
f ( x) 在

x=x0 取得极大值或者极小值则 x=x0 是 y ?

f ( x ) 的极值点

已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;
2] (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ?[?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

S

数学Ⅰ试卷 第 5 页 (共 16 页)

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19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

? 3? e 0) F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 0) ? 2 ? ? ? y

e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的离心率;

A P B

(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1
F1
O

F2

x

与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?
6 2

,求直线 AF1 的斜率;

(第 19 题)

(ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

S

数学Ⅰ试卷 第 6 页 (共 16 页)

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20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an?1 ?
an ? bn an ? bn
2 2

, ? N? . n

?? b ? 2 ? bn ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; ? ? an ? a ? ?? n ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an
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绝密★启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 准考证号 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) 。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

姓名

21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区 ................ 域内作 ...

★此卷上交考点保存★

答.若多做,则按作答的前两题评分. .. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延
C

长至点 C,使 BD = DC,连结 AC,AE,DE. 求证: ?E ? ?C .
A O E

D

B

(第 21-A 题)

S

数学Ⅰ试卷 第 8 页 (共 16 页)

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B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A
? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 的逆矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?

A 的特征值.

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标中,已知圆 C 经过点 P ? 交点,求圆 C 的极坐标方程.
2, ? 4

? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? ? 3

3 2

与极轴的

S

数学Ⅰ试卷 第 9 页 (共 16 页)

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D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x,y 满足: | x ? y |? 1 ,2x ? y |? 1 , 求证: | y |? |
3 6 5 . 18

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答, ........ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,
? ? 0 ;当两条棱平行时,?

的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,? ? 1 .

(1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

S

数学Ⅰ试卷 第 10 页 (共 16 页)

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23. (本小题满分 10 分)
2 … 设集合 Pn ? {1, , ,n} , n ? N? .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:

① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ??P A ,则 2x ?? P A .
n n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) .

S

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数学Ⅰ试卷 第 12 页 (共 16 页)

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数学Ⅰ试卷 第 13 页 (共 16 页)

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