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高中数学选修2-1综合测试题及答案


选修 2-1 综合测试题 一、选择题 1、已知 a 、 b 为实数,则 2 a ? 2 b 是 log 2 a ? log 2 b 的 A.必要非充分条件 ( ) D.既不充分也不必要条件

B.充分非必要条件 C.充要条件

2、给出命题:若函数 y ? f ( x) 是幂函数,则函数 y ? f ( x) 的图象不过第四象限.在它的逆命

题、 否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 ( D.
3 2
? ? 3、已知函数 f ( x ) ? sin x ? 2 xf ?( ) ,则 f ?( ) ? 3 3

( D.3 )

)

A. ?

1 2

B. 0

C. ?

1 2

4、如果命题“p 且 q”是假命题,“非 p” 是真命题,那么 A.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也可以是假命题

(

)

B.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 一定是假命题

2 5、已知命题 p :"?x ??1,2?, x ? a ? 0" ,命题 q :" ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ,若命题“ p ? q ” 是真

命题,则实数 a 的取值范围是 A. ( ??, ?2] {1}

(

) C. [1, ??) D. [?2,1]

B. ( ??, ?2] [1,2]

6.如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 弦值是( A. 15 17 ) B. 1 2 C. 8 17

A1B1 ,则 BE1 与 DF1 所成角的余 4

D.

3 2

7.如图所示,在四面体 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,那 么二面角 B-AP-C 的余弦值为( A. 2 2 B. 3 3 ) C. 7 7 D. 5 7

2 2 x2 y2 8、 我们把由半椭圆 2 ? 2 ? 1( x ? 0) 与半椭圆 y2 ? x2 ? 1( x ? 0) a b b c

合成的曲线称作“果圆”(其中 a 2 ? b2 ? c2 , a ? b ? c ? 0 ).如图, 设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点,A1、A2 和 B1、B2 是“果圆”与 x,y 轴的交点,若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角,则 a,b 的值分

别为(

)A.

, 3 x2 y 2 9、设 F1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, , b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三 a b 5

7 ,1 2

B. 3,1

1 C.5,3

D.5,4

个顶点,则双曲线的离心率为( A.
3 2

) C.
5 2

B. 2

D.3

10、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐 标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8x ) D. y 2 ? 8x

C. y 2 ? 4x

11.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平 面 A1ED1 所成角的大小为( A.60° B.90°C.45° ) D.以上都不正确 )

12、平面α 的一个法向量 n=(1,-1,0),则 y 轴与平面α 所成的角的大小为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 3π D. 4

二、填空题 13. 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=,b=,若向量 ka+b 与 ka- 2b 互相垂直,则 k 的值为________. 14. 已知向量 a=(cos θ ,sin θ ,1),b=( 3,-1,2),则|2a-b|的最大值为________. 15、已知椭圆
x2 y2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 ( ?c,0) 和 与双曲线 a 2 b2 m2 n2

( c, 0) ,若 c 是 a 、 m 的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率是

.

16、现有下列命题: ① 命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”; ② 若 A ? ?x | x ? 0? , B ? ?x | x ? ?1? ,则 A (?R B) = A ; ③ 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 是偶函数的充要条件是 ? ? k ? ? ④ 若非零向量 a , b 满足 a = ? b, b = ? a ( ? ? R ),则 ? =1. 其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
? ( k ? Z) ; 2

1 17、 (12 分)设命题 p:不等式 2 x ? 1 ? x ? a 的解集是 {x ? ? x ? 3} ;命题 q:不等式 4 x ? 4ax 2 ? 1 的 3

解集是 ? ,若“p 或 q”为真命题,试求实数 a 的值取值范围. 18、(12 分)已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量 b 及 k 的值. 19、(12 分)如图所示,已知圆 O1 与圆 O2 外切,它们的半径分别为 3、1, 圆 C 与圆 O1、圆 O2 外切。(1)建立适当的坐标系,求圆 C 的圆心的轨迹 方程;(2)在(1)的坐标系中,若圆 C 的半径为 1,求圆 C 的方程。 20、(12 分)某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧墙为一面建造 平面图形为矩形,面积为 126m2 的厂房,工程条件是: ① 建 1m 新墙的费用为 a 元;② 修 1m 旧墙的费用为
a 的新墙的费用为 元,经讨论有两种方案: 2 a 元;③ 拆去 1m 的旧墙,用可得的建材建 1m 4
y
?

O2

O1

(1)利用旧墙一段 x m(0<x<14)为矩形一边; (2)矩形厂房利用旧墙的一面边长 x≥14; 问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好.
y 2 x2 21、(12 分)已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、下 a b
M F1 O F?
2

?
x

焦点,其中 F1 也是抛物线 C2 : x2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象 限的交点,且 | MF1 |?
5 . 3

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知点 P(1,3) 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段
AB 上取一点 Q ,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ?QB ,( ? ? 0 且 ? ? ?1 ).求证:点 Q 总在某定直线上.

22、(14 分)(2011?辽宁高考理科?T18) (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= (I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ (II)求二面角 Q-BP-C 的余弦值.
1 PD. 2

参考答案:1.A 2a ? 2b ? a ? b ,当 a ? 0 或 b ? 0 时,不能得到 log2 a ? log2 b ,反之成立. 2.B 原命题为真,其逆命题为假,∴ 否命题为假,逆否命题为真.
? ? 1 ? ? 1 3.C 得 f ?( x ) ? cos x ? 2 f ?( ) ,∴ f ?( ) ? ? 2 f ?( ) ? f ?( ) ? ? . 3 3 2 3 3 2

4.C

“非 p” 是真命题,命题 p 是假命题∴ 命题 q 可以是真命题也可以是假命题. 得 a ? ?2 或 a ? 1 .

5.A “ p ? q ” 为真,得 p 、 q 为真,∴a ? ( x 2 )min ? 1 ;△ 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 0 . 6.A 7.C 8.A OF2 ? b 2 ? c 2 ?
1 3 , OF0 ? c ? 3OF2 ? ,∴b ? 1 , 2 2

∴a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ?

3 7 7 7 ? ,得 a ? ,即 a ? ,b ? 1. 4 4 2 2

9.B 由 tan

?
6

?

c c 3 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. ? a 2b 3

a a 10.B 抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) , 2 4 a 1 a a 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△ OAF 的面积为 | | ? | |? 4 , 2 2 4 2

解得 a ? ?8 .所以抛物线方程为 y 2 ? ? 8x .
1 1 1 1 10.D S?PTQ ? ? y ? QT ? ,∴ QT ? , Q( x ? , 0) ,根据导数的几何意义, 2 2 y y

k PQ ?

y?0 1 x ? (x ? ) y

? y ? ,∴ y 2 ? y? .

11B

12.B

5 13.-2或 2

14. 4

15.

1 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得 2

c2 ? a 2 ? b2 ? m2 ? n2

① , c2 ? am

② , 2n2 ? 2m2 ? c2

③ ,将① 代入③ 得
c 1 ? . a 2

2n2 ? 3m2 ? n2 ,∴n ? 3m ,代入③ 得 c ? 2 m ,再代入② 得 a ? 4 m ,得 e ?
16.② ③ 将 b = ? a 代入 a = ? b 得( ? 2 ?1 ) a =0,∴? 2 ? 1 ,有 ? ? ?1 ,④ 错.

1 ? ?a ? 1 ?? ?a ? 1 ? ? x ? a ? 1 ,由题意得 ? 3 17.解:由 2 x ? 1 ? x ? a 得 3?a ?2. 3 ? ?a ? 1 ? 3

∴ 命题 p: a ? 2 .

由 4 x ? 4ax 2 ? 1 的解集是 ? ,得 4ax 2 ? 4 x ? 1 ? 0 无解,

?a ? 0 即对 ?x ? R , 4ax 2 ? 4 x ? 1 ? 0 恒成立,∴? ,得 a ? 1 . 2 ? ? ( ? 4) ? 4 ? 4 a ? 1 ? 0 ?
由“p 或 q”为真命题,得 p、q 中至少有一个真命题.

∴ 命题 q: a ? 1 .

?a ? 2 当 p、q 均为假命题,则 ? ? {a a ? 1} ,而 ?R{a a ? 1} ? {a a ? 1} . ?a ? 1
∴ 实数 a 的值取值范围是 (1, ??) . 18.解: ∵a,b 共线,∴存在实数λ ,使 b=λ a, ∴b=2a=(4,-2,4). 即(k2-4)︱a︱2=0, ∵(ka+b)⊥(ka-b), 解得 k=±2.
y C
?

∴a?b=λ a2=λ ︱a︱2,解得λ =2.

∴(ka+b)?(ka-b)=(ka+2a)?(ka-2a)=0,

19.解:(1)如图,以 O1O2 所在的直线为 x 轴,以 O1O2 的中垂线 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.设圆 C 的圆心 为 C ( x, y ) ,半径为 r ,由 CO1 ? CO2 ? (r ? 3) ?(r ? 1) ? 2 , 得圆 C 的圆心的轨迹是以 O1 (?2, 0) , O2 (2,0) 为焦点, 定长为 2 的双曲线,设它的方程为
x2 y 2 ? ? 1 .由 2a ? 2 ,得 a ? 1 , a 2 b2
O1

O O2 x

又 c ? 2 ,∴b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 .又点 (1, 0) 不合题意,且 CO1 ? CO2 ? 2 ? 0 ,知 x ? 1 . ∴ 圆 C 的圆心的轨迹方程是 x 2 ?
y2 ? 1( x ? 1 ). 3

(2)令 C ( x, y) ,由圆 C 与圆 O1 、 O2 相切得 | CO1 |? 4 , | CO2 |? 2 ,

?( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 3 15 3 15 2 故? ,解得 C ( ,? 圆 C 的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? ) ,∴ ) ? 1. 2 2 2 2 2 2 ? ( x ? 2) ? y ? 4
a a 20.解:(1)方案:修旧墙费用为 x· 元,拆旧墙造新墙费用为(4-x)· , 4 2 2 ? 126 x 36 ? 14) a 其余新墙费用: (2 x ? ∴ 总费用 y ? 7a( ? ? 1) (0<x<14) x 4 x

∴ y ? 7a(

x 6 2 ? ) ? 35a ≥35a,当 x=12 时,ymin=35a. 2 x

a 7a 252 ? 16)a (元) (2)方案,利用旧墙费用为 14· = (元),建新墙费用为 (2 x ? 2 2 x 126 21 ) ? a (x≥14) 总费用为: y ? 2a( x ? x 2

126 126 x 2 ? 126 ( x ? 14) ,则 f '( x ) ? 1 ? 2 ? 设 f ( x) ? x ? , x x x2

当 x ? 14 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数,∴ f ( x)max ? f (14) ? 35.5a . 由 35a ? 35.5a 知,采用(1)方案更好些. 答:采用(1)方案更好些.

21.解:(1)由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上, 故 x02 ? 4 y0 …① 又 | MF1 |?
2 5 5 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ……② , 由① ② 解得 x0 ? ? , y0 ? .而点 M 椭圆上, 3 3 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 故有 3 2 ? 32 ? 1 即 2 ? 2 ? 1 …③ , 又 c ? 1 ,则 b2 ? a 2 ? 1…④ a b 9a 3b

由③ ④ 可解得 a 2 ? 4 , b2 ? 3 ,∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , Q( x, y ) ,

y 2 x2 ? ? 1. 4 3

? x ? ? x2 ? 1 ? ? 由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ?1, y2 ? 3) ,即 ? 1 ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? ) ? x ? ? x2 ? (1 ? ? ) x 由 AQ ? ?QB 可得: ( x ? x1, y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,即 ? 1 ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y
⑤? ⑦ 得: x12 ? ? 2 x22 ? (1 ? ? 2 ) x ⑥? ⑧ 得: y12 ? ? 2 y22 ? 3 y(1 ? ? 2 )

两式相加得 ( x12 ? y12 ) ? ? 2 ( x22 ? y22 ) ? (1 ? ? 2 )( x ? 3 y) 又点 A, B 在圆 x 2 ? y 2 ? 3 上,且 ? ? ?1 ,所以 x12 ? y12 ? 3 , x22 ? y22 ? 3 即 x ? 3 y ? 3 ,∴ 点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上. 22.解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz . (Ⅰ)依题意有 Q(1,1,0) , C (0,0,1) , P(0,2,0) , 则 DQ ? (1,1,0) , DC ? (0,0,1) , PQ ? (1,?1,0) ,所以 PQ ? DQ ? 0 , PQ ? DC ? 0 , 即 PQ ⊥ DQ ,PQ ⊥ DC .且 DQ DC ? D 故 PQ ⊥平面 DCQ .又 PQ ? 平面 PQC , 所以平面
PQC ⊥平面 DCQ .

……6 分

(II)依题意有 B(1,0,1) , CB = (1,0,0) , BP = (?1,2,?1) .
? x ? 0, ? ?n ? CB ? 0, 设 n ? ( x, y, z) 是平面 PBC 的法向量,则 ? 即? ? ?? x ? 2 y ? z ? 0. ?n ? BP ? 0,

因此可取 n ? (0,?1,?2).
? ? m ? BP ? 0, 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ? ? ?m ? PQ ? 0.

可取 m ? (1,1,1),所以 cos m, n ? ?

15 . 且由图形可知二面角 Q ? BP ? C 为钝角 5 15 . 5

故二面角 Q ? BP ? C 的余弦值为 ?


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