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椭圆和双曲线综合


椭圆和双曲线综合练习卷
1. 设椭圆

x2 m2

?

y2 n2

? 1 ,双曲线

x2 y2 ? ? 1, (其中 m ? n ? 0 )的离心率分别为 e1 ,e2 ,则() m2 n2

A. e1 ,e2 ? 1 B. e1 ,e2

? 1 C. e1 ,e2 ? 1 D. e1 ,e2 与 1 大小不确定 【答案】 B

e1 ?

m2 ? n2 e2 ? m ,

m2 ? n2 m4 ? n4 n4 ,所以 e1e2 ? ? 1 ? ? 1 ,故选 B. m m2 m4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂 a 2 b2 ??? ? ???? 线,垂足为 H ,点 P 在双曲线上,且 FP ? 3FH ,则双曲线的离心率为( )
2. 已知双曲线 C : A. 3 B. 2 3 C.

13 2

D. 13

b ? y?? x ? b a ? a 【答案】C 设 H 在渐近线 y ? ? x 上,直线 FH 方程为 y ? ( x ? c ) ,由 ? ,得 a b a ? y ? ( x ? c) ? b ? ? a2 x ? ? 2 2 ??? ? ???? ? ? c ,即 H (? a , ab ) ,由 FP ? 3FH ,得 P(? 3a ? 2c, 3ab ) ,因为 P 在双曲线上,所以 ? c c c c ? y ? ab ? c ?
c 13 (2c 2 ? 3a 2 )2 9a 2 2 2 ? 2 ? 1 ,化简得 4c ? 13a , e ? ? .故选 C. 2 2 a 2 ac c
3. 已知 a, b ? 0 ,若圆 x ? y ? b 与双曲线
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 有公共点,则该双曲线离心率的取值范围 a2 b2

是(

) B. (1, 2 ] C. (1, 3) D. ( 2 ,2)

A. [ 2 ,??)

【答案】 A 由圆及双曲线的对称性可知, 当b ? a , 即

b x2 y2 2 2 2 ? 1 时, 圆 x ? y ? b 与双曲线 2 ? 2 ? 1 a a b

有公共点,则离心率 e ?

c b ? 1 ? ( )2 ? 2 ,故选 A. a a

y2 ? 1 的渐近线位于第一象限上的一点,若点 P 到该双曲线左焦点的距离为 4. P 为双曲线 x ? 3
2

2 3 ,则点 P 到其右焦点的距离为(



1

A. 2

B. 3

C. 2

D. 1

【答案】A 由题意,知 a ? 1 , b ? 3 , c ? 2 ,渐近线方程为 y ? ? 3x ,所以不妨令

P(a, 3a)(a ? 0) ,则有 (a ? 2)2 ? ( 3a)2 ? (2 3)2 ,解得 a ? 1 ,所以 P(1, 3) ,所以点 P 到其
右焦点的距离为 (1 ? 2) ? ( 3) ? 2 ,故选 A.
2 2

5. 设 F1、F2 分别为椭圆 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 ? ? 1( a ? b ? 0) C : ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 的公共焦 2 a 2 b2 a12 b12
3 ,则双曲线 C2 的离心率 4

点,它们在第一象限内交于点 M , ?F1MF2 ? 90? ,若椭圆的离心率 e =

e1 的取值为(
A.



9 2

B.

3 2 2

C.

3 2

D.

5 4

【答案】 B 由椭圆与双曲线的定理, 可知 MF 所以 MF 1 ? MF 2 ? 2a, MF 1 ? MF 2 ? 2a1 , 1 ? a ? a1 ,

MF2 ? a ? a1 ,因为 ?F1MF2 ? 90? ,所以 MF1 ? MF2 ? 4c 2 ,即 a2 ? a12 ? 2c2 ,即
3 1 1 3 2 ( )2 ? ( ) 2 ? 2 ,因为 a ? ,所以 e1 ? ,故选 B. 4 e e1 2
6. 若圆 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 3 与双曲线
2 2

2

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线相切,则此双曲线 a 2 b2

的离心率为( A.

) B.

2 3 3

7 2

C.2

D. 7

|b 3?a| c 2 3 ? 3 ? a ? 3b ? c ? 2b ? e ? ? c a 3 ,选 A. 【答案】A 由题意得
7. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两顶点为 A1 , A2 , 虚轴两端点为 B1 , B2 , 两焦点为 F1 , F2 , a 2 b2


若以 A1 , A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ,则双曲线的离心率为( A. 3 ? 5 B.

5 ?1 2

C.

5+1 2

D.

3+ 5 2

【答案】C 直线 B1F2 方程为

?bc x y ? ? 1 ,即 bx ? cy ? bc ? 0 ,由题意 ? a ,变形为 c b b2 ? c 2

e4 ? 3e2 ? 1 ? 0 ,∵ e ? 1 ,∴ e2 ?

3? 5 5 ?1 ,e ? .故选 C. 2 2
2

8. 已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 3


P, Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 ?PF1Q 的周长为(
A. 4 3 B.

14 3 3

C. 5 3

D.

16 3 3

【答案】D 易知 F2 (2,0) ,所以 PQ ? x 轴, a ? 3, e ?

2 2 3 , ? 3 3

PF2 ? QF2 ? 2e ? a ? 2 ?

2 3 3 3 7 3 ? 3? ?2 3 ? ,又 PF1 ? PF2 ? 2a ? ,所以 3 3 3 3

ΔPF1Q 周长为 2(

7 3 3 16 3 ? )? . 3 3 3
的左、 右焦点,点 P 为椭圆 C 上的动点,则△ PF1F2 的重心 G

9. 若点 F1、F2 分别为椭圆 C: 的轨迹方程为( A. ) B.

C. 【答案】C

D.

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则满足条件的直线 l 10. 过双曲线 x ? 2
2

有() A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.无数条

【答案】B∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2,小于 4, ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4, 当直线与实轴垂直时,有 3 ?

y2 ? 1 ,∴ y ? ?2 ,∴直线 AB 的长度是 4, 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b) 表示离心率小于 a 2 b2

综上可知有三条直线满足|AB|=4,故选 B. 11. 在区间 ?1,5? 和 ? 2,6? 内分别取一个数,记为 a 和 b ,则方程

5 的双曲线的概率为(
A.



1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

3

【答案】B 因为方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b) 表示离心率小于 5 的双曲线, a 2 b2

?

a 2 ? b2 ? 5,? 2a ? b,?b ? a ? 0, 2a ? b .它对应的平面区域如图中阴影部分所示,则方程 a

S x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b) 表示离心率小于 5 的双曲线的概率为: P ? 阴影 2 a b S距形

1 1 4 ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? 3? 3 15 2 2 ,故选 B. ? ? 4? 4 32

y2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线的离心率为 e ,若双曲线上一点 P 12. 已知双曲线 x ? 3 ???? ? ???? ? sin ?PF2 F1 ? e ,则 F2 P ? F2 F1 的值为( ) 使 sin ?PF1F2
2

A. 3

B. 2

C. ?3
2

D. ? 2

【答案】B 由双曲线方程 x ?

???? ? ???? y2 ? 1 得 a ? 1, c ? 2 ,由双曲线定义得 PF2 ? PF1 ? 2 ,因为 3 ???? PF1 ???? ???? ? ???? ? sin ?PF2 F1 ? e ,所以由正弦定理得 ???? ? ? 2 ,可解得 PF1 ? 4, PF2 ? 2 ,由知 F1F2 ? 4 ,根 sin ?PF1F2 PF2
? ???? ? ???? ???? ? 1 ???? 1 cos ?PF2 F1 ? 4 ? 2 ? ? 2 ,故选 B. , F2 P ? F2 F1 ? PF1 ?PF2 ? 4 4

据余弦定理可知 cos ?PF2 F1 ?

13. 已知点 M (1,0) , A, B 是椭圆 是( )

???? ???? ???? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 上的动点,且 MA ? MB ? 0 ,则 MA ? BA 的取值范围 4

4

A. [ ,1]

2 3

B. [1,9]

C. [ ,9]

2 3

D. [

6 ,3] 3

【答案】 C 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 MA ? ( x1 ?1, y1 ), MB ? ( x2 ?1, y2 ), BA ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 由题意有 MA ? MB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 ,所以

??? ?

????

??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ? MA ? BA ? ( x1 ?1)( x1 ? x2 ) ? y1 ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ?1) x1 ? ( x1 ?1) x2 ? y12 ? y1 y2
? x12 ? x1 ? y12 ? ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1) ? ? x12 ? x1 ? 1 ? ? 3 2 3 4 2 x1 ? 2 x1 ? 2 ? ( x1 ? ) 2 ? , x1 ? [?2, 2] 4 4 3 3
???? ??? ? ???? ??? ? 4 2 时, MA ? BA 有最小值 ,故选 C. 3 3

1 2 x1 ? x1 ? 1 4

所以,当 x ? ?2 时, MA ? BA 有最大值 9 ,当 x ?

14. 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 4 3
( )

??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是
A. ? , ? 2 4 【答案】B 15. 已知 两点,若 A. 答案:C 16. 过双曲线 x ?
2
2

?1 3? ?3 3? B. ? , ? ? ? ?8 4 ?

1? C. ? ,

?1 ? ?2 ?

1? D. ? ,

?3 ? ?4 ?

分别是双曲线

的左、右焦点,过

且垂直于 轴的直线与双曲线交于 )

是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( B. C. D.

2 y2 2 ? 1 的右支上一点 P ,分别向圆 C1 : ? x ? 4 ? ? y ? 4 和圆 15 2 2

C2 : ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 作切线,切点分别为 M , N ,则 PM ? PN 的最小值为(
A.10 【答案】B 【解析】如图所示,根据切线,可有 PM
2



B.13

C.16

D.19

? PN ? PO1 ? 4 ? PO2 ? 1

2

2

2

? ? PO1 ? PO2
2 2

?? PO

1

? PO2 ? ? 3 ? 2 ? PO1 ? PO2 ? ? 3 , PO1 ? PO2 ? OO 1 2 ? 8 ,所以

PM ? PN 最小值为 15 .
5

17. 过点 P(1,1) 作直线与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 交于 A, B 两点, 使点 P 为 AB 中点, 则这样的直线 ( 2
B.存在无数条 D.不存在



A.存在一条,且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 C.存在两条,方程为 2x ? ? y ? 1? ? 0 答案:D 18. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线 a2 b2

的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________. 【答案】[2,+∞)

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三角形 AF1F2 的一边 AF1 与双曲 a 2 b2 ???? ???? C 的离心率为. 线左支交于点 B ,且 AF 1 ? 4BF 1 ,则双曲线
19. 已知双曲线 C :

13 ? 1 3 【答案】 ???? ???? | AF1| ? 4|BF1|=4m
【解析】设

,则

???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? | BF2 |2 ?| AF2 |2 ? | AB |2 ?2 | AF2 || AB | cos60? ? 13m2
4 13+1 ? 3 13 ? 1

,所以

2a ? BF2 ? BF1 ? 13m ? m, 2c ? 4m, e ?
20. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? , A, B 是圆 a 2 b2

? x ? c?

2

? y 2 ? 4c 2 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1 A / / F2 B ,则双曲线 C 的离心率为

______________.

3 ? 17 4 【答案】
6

【解析】由双曲线定义得

AF2 ? 2a ? 2c, BF2 ? 2c ? 2a ,因为 F1 A / / F2 B ,所以

cos ?F2 F1 A ? ? cos ?F1F2 B ,再利用余弦定理得

4c 2 ? 4c 2 ? (2a ? 2c)2 4c 2 ? (2c ? 2a)2 ? 4c 2 3 ? 17 ?? 2e2 ? 3e ? 1 ? 0, e ? 1 ? e ? 2 ? 4c ? 4c 2 ? 2c ? (2c ? 2a) ,化简得 4

21. 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2 , P 为双曲线右支上一点,点 Q 的坐标为 3

(?2, 3) ,则 | PQ | ? | PF1 | 的最小值为__________.
【答案】 7

?| PQ1 | ? | PF2 | ?2 , 【解析】 由双曲线定义可知 | PF 故 | PQ | ? | PF 可知当 Q, P, F2 1 |?| PF 2 | ?2 , 1| | QF2 | ?2 ? 5 ? 2 ? 7 . 三点共线时, | PQ | ? | PF 1 | 最小,且最小值为
22. 如图,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 上有一点 A ,它关于原点的对称点为 B ,点 F 为双 a 2 b2

曲线的右焦点,且满足 AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? 为.

?? ? ? , ,则该双曲线离心率 e 的取值范围 ?12 6 ? ?

【答案】 ? 2, 3 ? 1?

?

?

【解析】 设 F1 是左焦点, 由对称性得 AF 设 AF 则 x ? y ? 2a , 1 ? BF , 1 ? BF ? x , AF ? y ,
2 2 2 2 2 2 又 OA ? OB ? OF ? c ,因为 AF ? BF , x ? y ? (2c) ? 4c ,又 ( x ? y) ? (2a) ,则

xy ? 2(c2 ? a2 ) .
又 S?ABF ? 2S?OAF ,

1 1 c2 1 xy ? 2 ? ( c 2 sin 2? ) ,∴ c2 ? a2 ? c2 sin 2? , e2 ? 2 ? ,再由 2 2 a 1 ? sin 2?
7

? ??

?? ? ? , ? ,得 e2 ?[2,( 3 ? 1)2 ] ,即 e ?[ 2, 3 ?1] . ?12 6 ?

23. 以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆; ②双曲线

??? ?

??? ?

x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35

2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④和定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 其中真命题的序号为 【答案】②③

25 5 x2 y 2 的距离之比为 的点的轨迹方程为 ? ?1. 4 4 16 9

_______

【解析】①中需要对 k 的取值范围加以限定;②中有公式可知两个曲线的焦点分别是 (± 34,0) ; ③中方程的两个根分别是 2 和

1 16 ;④中直线的方程应该是 x = ;故答案为②③. 2 5

24. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F .设线段 AB 的中点 a 2 b2
2

为 M ,若 2MA ? MF ? BF ? 0 ,则该椭圆离心率的取值范围为 【答案】 (0, 3 ? 1] 25. 过点 M (1,1) 作一直线与椭圆 所在直线的方程为. 【答案】 4 x ? 9 y - 13 ? 0

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A.B 两点,若 M 点恰好为弦 AB 的中点,则 AB 9 4

x y x2 y 2 ? 1 的方程中,可得: 1 ? 1 ? 1, ① 【解析】设 A( x1 , x2 ), B( x2 , y 2 ) ,分别代入椭圆 ? 9 4 9 4
2 2 ( x ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2) x2 y ?? 1 ? 2 ? 1, ②,由①-②可得, 1 ,因为点 M 是弦 AB 9 4 9 4

2

2

的中点,∴ x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 ,∴

y1 ? y 2 4 ? ? = k ,又因为直线过点 M (1,1) ,所以直线 x1 ? x2 9

AB 的方程为

4 y ? 1 ? ? (x ? 1) ,即 4 x ? 9 y - 13 ? 0 . 9
x2 y2 26. 设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, a b

8

B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 解:(1)设焦距为 2c,则 F1(-c,0)F2(c,0) ∵kl=tan60° = 3∴l 的方程为 y= 3(x-c)即: 3x-y- 3c=0 |- 3c- 3c| 2 3c ∵f1 到直线 l 的距离为 2 3∴ = = 3c=2 3 2 ( 3)2+(-1)2 ∴c=2∴椭圆 C 的焦距为 4 (2)设 A(x1,y1)B(x2,y)由题可知 y1<0,y2>0 直线 l 的方程为 y= 3(x-2)

? ?y= 3(x-2) ?x2 y2 得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b2(a2-4)=0 + = 1 2 2 ? ?a b
4 3b y +y = ? ? 3a b 由韦达定理可得? -3b (a -4) y ,y = ② ? ? 3a +b
1 2


2

2



2

2

1

2

2

2

→ → ∵AF=2F2B

4 3b ? ?-y =-3a +b ∴-y =2y ,代入①②得? -3b (a -4) ?-2y = 3a +b ?
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

2

③ ④

3a2+b2 ③2 1 48b4 16b2 得 = 2 · = ④ 2 (3a +b2)2 3b2(a2-4) (3a2+b2)(a-4) 又 a2=b2+4 ⑥



x2 y2 由⑤⑥解得 a2=9 b2=5∴椭圆 C 的方程为 + =1 9 5 27. 已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C 相交于 A, B 两点( A, B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过双曲线 C 的左顶点 D ,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标. 【答案】 (1)

5 ,虚轴长为 2 . 2

x2 ? 10 ? ? y 2 ? 1 (2) ? ? , 0 ? 4 ? 3 ?
c 5 x2 y 2 , 2b ? 2, 又 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,由已知得 ? 2 a 2 a b
9

试题解析: (1)设双曲线的标准方程为

a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2, b ? 1 ,所以双曲线的标准方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,联立 ? x 2 ,得 ?1 ? 4k ? x ? 8mkx ? 4 ? m ? 1? ? 0 ,有 2 ? ? y ?1 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16 ?1 ? 4k 2 ?? m 2 ? 1? ? 0 ? ? 8mk ?0 , ? x1 ? x2 ? 2 1 ? 4 k ? ? ?4 ? m 2 ? 1? ? x1 x2 ? ?0 1 ? 4k 2 ?

m 2 ? 4k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? mk ? x1 ? x2 ? ? m ? ,以 AB 为直径的圆过双曲线 1 ? 4k 2
2 2

C 的左顶点 D ? ?2,0? ,?k AD ? kBD ? ?1 ,即
2 y1 y2 m 2 ? 4k 2 ?4 ? m ? 1? 16mk ? ? ?1,? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0,? ? ? ?4?0 , x1 ? 2 x2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?3m2 ? 16mk ? 20k 2 ? 0 ,解得 m ? 2 k 或 m ?
定点 ? ?2,0 ? ,与已知矛盾;当 m ?

10k .当 m ? 2 k 时, l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,直线过 3

10k 10 ? ? ? 10 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ,直线过定点 ? ? , 0 ? ,经检验 ? 3 3? ? ? 3 ?

符合已知条件,所以直线 l 过定点,定点坐标为 ? ?

? 10 ? ,0? . ? 3 ?

x2 1 28. 已知椭圆 +y2=1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2 (1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 x2 1 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为 y=- x+b.由 m
2

? 2 +y =1, ? 1 ?y=-mx+b,

1 1 ? 2 2b 2 消去 y,得? ?2+m2?x - m x+b -1=0.因为直线 y=-

1 x2 4 x+b 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点,所以 Δ=-2b2+2+ 2>0,① m 2 m 2mb m2b 设 M 为 AB 的中点,则 M?m2+2,m2+2?, ? ?

10

m2+2 1 6 6 代入直线方程 y=mx+ 解得 b=- .②由①②得 m<- 或 m> . 2 2m 2 3 3 1 6 6 (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?,则|AB|= t2+1· m ? 2 2? ? ? t2+ 且 O 到直线 AB 的距离 d= 1 2 3 -2t4+2t2+ 2 , 1 t2+ 2

t2+1

. 1?2 2 2 -2? ?t -2? +2≤ 2 ,

1 1 设△ AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AB|· d= 2 2

1 2 当且仅当 t2= 时,等号成立.故△ AOB 面积的最大值为 . 2 2

x2 y 2 3 29. 已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F ( ? c,0) ,离心率为 , 点 M 在椭圆上且位于第一 a b 3
象限,直线 FM 被圆 x +y = (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP ( O 为原点)的斜率的取值范围. 【答案】(I)
2 2

b4 4 3 截得的线段的长为 c, FM ? 4 3

? x2 y2 3 2 3? ? 2 2 3? ; (II) ? ? 1 ;(III) ? ??, ? , ??? ?. 3 2 3 3 3 3 ? ? ? ?

c2 1 【解析】(I) 由已知有 2 ? ,又由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b 2 ? 2c 2 , a 3
设直线 FM 的斜率为 k ( k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c ) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?
(II)由(I)得椭圆方程为 整理得

2

2

2

x2 y2 ? ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c ) ,两个方程联立,消去 y , 3c 2 2c 2

? 2 3 ? 5 解得 x ? ? c 或 x ? c , 因为点 M 在第一象限, 可得 M 的坐标为 ? c, 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 , c? , 3 3 ? ?
?2 3 ? x2 y2 4 3 ? ?1 由 FM ? ( c ? c ) ? ? ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 c ? 0? ? 3 2 3 3 ? ?
2 2

11

(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y ,即 y ? t ( x ? 1) ( x ? ?1) ,与椭圆方 x ?1

? y ? t ( x ? 1) 6 ? 2 x2 ? 2 2 2 ? 2, 程联立 ? x 2 y 2 , 消去 y , 整理得 2 x ? 3t ( x ? 1) ? 6 , 又由已知, 得t ? 2 3( x ? 1) ? ? 1 ? 2 ?3
解得

?

3 ? x ? ?1 或 ?1 ? x ? 0 , 2
y 2 2 ,即 y ? mx ( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 m 2 ? 2 ? . x x 3

设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

①当 x ? ? ?

? 3 ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? 2 ? ?

? 2 2 3? 2 2 ? ,得 m ? ? , ? 2 x 3 3 ? ? 3 ? 2 2 2 3? ? ,得 m ? ? ??, ? ? 2 x 3 3 ? ?

②当 x ? ? ?1,0 ? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 2 2 3? , ??? ? 3 ? ? 3 3 ?

x2 y 2 30. 已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线 a b
的距离为

1 c. 2 5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? ,? 两点,求椭圆 ? 2

(1)求椭圆 ? 的离心率; (2)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ?
2 2

的方程. 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)先写过点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线方程,再计算原 点 ? 到该直线的距离,进而可得椭圆 ? 的离心率; (II)先由(I)知椭圆 ? 的方程,设 ?? 的方程, 联立 ?

x2 y 2 3 ? ? 1. ; (II) 12 3 2

? ? y ? k ? x ? 2? ? 1 ,消去 y ,可得 x1 ? x2 和 x1 x2 的值,进而可得 k ,再利用 ?? ? 10 可得 b 2 2 2 2 ? ? x ? 4 y ? 4b

的值,进而可得椭圆 ? 的方程. 试题解析: (I)过点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线方程为 bx + cy - bc = 0 ,学优高考网

12

则原点 ? 到直线的距离 d ?

bc b2 ? c2

?

bc , a

由d =

c 3 1 . c ,得 a = 2b = 2 a 2 - c 2 ,解得离心率 = a 2 2
2 2 2

(II)解法一:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x + 4 y = 4b . 依题意,圆心 ? ? ?2,1? 是线段 ?? 的中点,且 | AB |= 10 . 易知, ?? 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1)

(1 + 4k 2 ) x 2 + 8k (2k +1) x + 4(2k +1) 2 - 4b 2 = 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则 x1 + x2 = 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b 2 . 于是 | AB |? 1 ? ?

8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 1 + 4k 2

5 ?1? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

由 | AB |= 10 ,得 10(b 2 - 2) = 10 ,解得 b 2 = 3 . 故椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 + =1. 12 3

13


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