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陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校2014届高三上学期9月月考数学(理)试题


高三模拟四考试 数学试题(理科)
( 满 分 : 150 分 , 考 试 时 间 : 120 分 钟 ) 第Ⅰ卷 选 择 题 ( 共 50 分 ) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ( 本 大 题 共 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 ) 1. 设 a ,b 是 单 位 向 量 , 则 “ a ·b =1” 是 “ a

=b ” 的 A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 又 不 必 要 条 件
?x 2 2.已 知 集 合 A ? y y ? 2 , x ? 0 , 集 合 B ? x y? x , 则 A ? B ?

?

?

?

1

?

A. ?1, ?? ?
y2 a2

B. ?1, ?? ?

C. ? 0, ?? ?

D. ? 0, ?? ?

3. 双 曲 线 A. 3

2 ? x2 ? 1的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y ? 4 x ,则 双 曲 线 的 离 心 率 为 3

b

5

B.

4 3

C.

5 4

D. 7

4

4. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 P( 5 ,f ( 5 ) ) 的 切 线 方 程 是 处

y ? ? x ? 8 , 则 f ( 5 )? f ? ( 5? )
A.
1 2

B.- 1

C. 1

D.2

5. 运 行 右 图 所 示 框 图 的 相 应 程 序 ,若 输 入 a, b 的 值 分 别 为 l o g 3 2 和 log 3 2 ,则 输 出 M 的 值 是 A.0 6. 设 B.1 C. 2 D. - 1

a ? ?1, 1 , 2 ,3, ? 1 ? ,则 使 函 数 y ? x a 的 定 义 域 为 R 且 为 奇 函 数 的 所 有 2 3 3
B.1, 3, ? 1 3 D.1, 2 , 3, ? 1 3 3

a的值为
A.1, 3 C.1, 3, 2 3

7. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 ,根 据 图 中 标 出 的 尺 寸 ,可 得 这 个 几何体的体积为
A.12 B. 12

3

C. 4

3

D. 16

3

8. 已 知 等 差 数 列 ? an ? 的 公 差 d ? 0 , 若 a4 ? a6 ? 24, a2 ? a8 ? 10 , 则 该 数 列 的

前 n 项 和 sn 的 最 大 值 为 A. 60 B. 5 5 C. 50 D .45 9. 如 图 , 形 OABC 内 的 阴 影 部 分 是 由 曲 线 f ? x ? ? sin x x ? ? 0, ? ? 及 矩 直 线 x ? a a ? ? 0, ? ? 与 x 轴 围 成 ,向 矩 形 OABC 内 随 机 投 掷 一 点 ,若 此 点 落在阴影部分的概率为 A.
7? 12
1 ,则 4

?

?

?

?

a的值是
C.
3? 4

B.

2? 3

D.

5? 6

10. 已 知 成立,则 A. B. C. D.

f (x) 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 , f ( x) ? f ' ( x) 对 于 任 意 x ? R 恒 且

f (2) ? e 2 ? f (0),

f (2013 ? e 2013 ? f (0) )

f (2) ? e 2 ? f (0),
f (2) ? e 2 ? f (0),

f (2013 ? e 2013 ? f (0) )
f (2013 ? e 2013 ? f (0) )

f (2) ? e 2 ? f (0),

f (2013 ? e 2013 ? f (0) )

第Ⅱ卷 非 选 择 题 ( 共 1 00 分 ) 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 5 分 , 满 分 25 分 . 11. 已 知 向 量 a ? (1, ?2), b ? (2, ? ) , 且 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角 , 则 实 数 ? 的 取 值范围是 . ? ? x?0 ? 1 y ?1 12. 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 0 , z ? 若 的最小值为 , a的 则 x ?1 4 ?x y ? ? ?1 ? 3a 4a 值为 .

?

?

?

?

1 13.若 将 ( x ? a) ( x? b) 项 展 开 得 x2 ? a x? b x? a, 则 x 2 出 现 的 概 率 为 , 逐 b 4

x 出 现 的 概 率 为 1 , 如 果 将 ( x ? a)( x ? b)( x ? c)( x ? d )( x ? e) 逐 项 展 开 , 那 么 x 3 出 2
现的概率为 . 14. 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 则实数 m的取值范围是

?l o g ? x ? 1 x ? ? , 2 ? ? x ? 2 x ,x ? 0
2

, 函 数 g ? x? ? f ? x? ? m 有 三 个 零 点 , 若

0

.

g 15 . 已 知 l ga ? l b ?
是 .

0 ,则满足不等式

a ? b ?? 的实数 ? 的范围 a 2 ?1 b2 ?1

三 、解 答 题 :解 答 应 写 出 文 字 说 明 ,证 明 过 程 或 演 算 步 骤( 本 答 题 共 6 小 题 ,

共 75 分 ) 16. 本 小 题 12 分 )设 函 数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) 2 ? 2cos 2 ? x(? ? 0) 的 最 小 ( 正周期为

2? . 3 (Ⅰ)求 ?的值.
( Ⅱ ) 若 函 数 y ? g ( x) 的 图 像 是 由 y ? f ( x) 的 图 像 向 右 平 移

? 个单位长度 2

得 到 的 , 求 y ? g ( x) 的 单 调 递 增 区 间 .

17.( 本 小 题 12 分 ) 数 列 {a n } 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足
2 2a n S n ? a n ? 2 . 2 ( Ⅰ ) 求 证 : 数 列 { S n } 为 等 差 数 列 , 并 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ;

( Ⅱ ) 设 bn ?

2
4 4Sn

?1

, 求 数 列 { b n } 的 前 n 项 和 Tn 的 最 小 值 .

18.( 本 小 题 12 分 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 侧 面 P C D? 底 面 A B C D , 是 PD ? CD , E 为 PC 中 点 , 底 面 A B C D 直 角 梯 形 . AB / /CD, ?ADC ? 900 , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . ( Ⅰ ) 求 证 : BE / / 平 面 APD ; ? ? ?? ? ? ?? ( Ⅱ )设 Q 为 侧 棱 PC 上 一 点 , P Q ? ? P C ,试 确 定 ? 的 值 ,使 得 平 面 PBD ? 与 平 面 QBD 的 夹 角 为 45 .
P

E

D

C

A

B

19.( 本 小 题 12 分 ) 已 知 中 心 在 原 点 O , 焦 点 在 x 轴 上 , 离 心 率 为 椭圆过点 (

3 2



2,

2 2

) .

(Ⅰ)求椭圆的方程; ( Ⅱ ) 设 不 过 原 点 O 的 直 线 l 与 该 椭 圆 交 于 P , Q 两 点 , 且 直 线 O P , PQ,

OQ 的 斜 率 依 次 成 等 比 数 列 , 求 △ OPQ 面 积 的 取 值 范 围 .

20. ( 本 小 题 13 分 )第 30 届 奥 运 会 已 于 20 12 年 7 月 27 日 在 伦 敦 举 行 , 当 时 某 学 校 招 募 了 8 名 男 志 愿 者 和 12 名 女 志 愿 者 , 这 20 名 志 愿 者 的 身 高 如 下 茎 叶 图 ( 单 位 : cm ) 若 身 高 在 180 cm 以 上 ( 包 括 180 cm ) 定 义 为 “ 高 个 : 子 ” 身 高 在 18 0 cm 以 下 ( 不 包 括 180 cm ) 定 义 为 “ 非 高 个 子 ” 且 只 有 “ 女 , , 高个子”才能担任“礼仪小姐”. (Ⅰ)用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,如 果从这 5 人中随机选 2 人,那么至少有 1 人是“高个子”的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“高个子”中随机选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者 中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出

X 的分布列,并求 X 的数学期望.

男 8 8 7 7 4 6 2 1 16 17 18 19

女 5 2 0 0 8 3 1 9 5 2 5 6

21.( 本 小 题 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ( Ⅰ ) 求 f (x) 的 极 值 ;

ln x ? a (a ? R) . x

2 ( Ⅱ ) 若 函 数 f (x) 的 图 象 与 函 数 g (x) =1 的 图 象 在 区 间 (0, e ] 上 有 公 共 点 , 求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)设各项为正的数列

?a ? 满 足 : a
n

1

? 1, an ?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N *

,求证:

an ? 2n ? 1

高三模拟数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题: (每 小 题 5 分 , 满 分 50 分 ) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 C 6 A 7 D 8 D 9 B 1 0 A

二、填空题: (每 小 题 5 分 , 满 分 25 分 )

11. ? ??, ?4 ? ? ? ?4,1? ; 三、解答题:

12.1;

5 13. 16 ;

14. (0,1) ;

15. ?1, ?? ? .

16. 解 : Ⅰ ) f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? sin 2? x ? 1 ? 2cos 2? x (

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 , 4 2? 2? 3 ? 依题意得 ,故 ?的最小正周期为 . ????6 分 2 2? 3 ? ?? 5? ? ( Ⅱ ) 依 题 意 得 : g ( x) ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3 x ? ) ? 2 , 2 4? 4 ? ? 5? ? ≤ 2k? ? (k ? Z ) , 由 2k? ? ≤ 3x ? 2 4 2 2 ? 2 7 ? (k ? Z ) , 解 得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) . 故 y ? g ( x) 的 单 调 增 区 间 为 : [ k? ? , k? ? ????12 分 3 4 3 12
2 17.解 : Ⅰ ) ∵ 2a n S n ? a n ? 1 , ∴ 当 n≥ 2 时 , 2( S n ? S n?1 ) S n ? ( S n ? S n?1 ) 2 ? 1 , ( 2 2 2 整 理 得 , S n ? S n?1 ? 1 ( n≥ 2) 又 S1 ? 1 , , 2 ∴ 数 列 {Sn } 为 首 项 和 公 差 都 是 1 的 等 差 数 列 . 2 ∴ S n ? n , 又 Sn ? 0 , ∴ S n ? n .

?

∴ n≥ 2 时 , a n ? S n ? S n?1 ? n ? n ? 1 , 又 a1 ? S1 ? 1 适 合 此 式 , ∴ 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 为 a n ? n ? n ? 1 . ( Ⅱ ) ∵ bn ? ????6 分

2 1 1 ? ? , ? 1 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ? ?? ∴ Tn ? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? = 1? , 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1
4 4Sn

2

?

2 1 的最小值为 . ????12 分 3 n 18.解 : I) 取 PD 的 中 点 F , 连 结 E F, A F ( ,

? n ? 1时,Tn ?

2

2?

因 为 E 为 PC 中 点 , ∴ EF / /CD , 且 E F ?

1 C D 1, ? 2

? , 在 梯 形 A B C D , A B/ / C D, A B 1 ∴ EF / / AB, EF ? AB, 中
四 边 形 ABEF 为 平 行 四 边 形 , ∴ BE / / AF ,

BE ? 平 面 PAD , AF ? 平 面 PAD , ∴ BE / / 平 面 PAD .????6 分 ( II) 如 图 , 以 D 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz ,
则 A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), P(0,0,1) , ??? ? 平 面 PBD 的 法 向 量 为 BC ? (? 1, 1, 0 ) , ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ?1), PQ ? ? PC , ? ? (0,1) , ?Q(0, 2? ,1 ? ? ) , 设

? ??? ? ? ? n ? DB ? a ? b ? 0 2? ), 由 ? ? ???? , ∴ n ? (?1,1, ? ?1 ?n ? DQ ? 2? b ? (1 ? ? )c ? 0

? ??? ? n ? BC 2 2 cos 45 ? ? ??? ? ? ? 2 2? 2 n ? BC 2? 2?( ) ? ?1
0

平 面 Q B D的 法 向 量 为 n ? ( a, b, c, ) ??? ? ???? DB ? (1,1, 0), DQ ? (0, 2? ,1 ? ? ) ,

?









? ? (0,1) ? ? ? 2 ? 1 . ????12 分
19.解 : Ⅰ ) 由 题 意 可 设 椭 圆 方 程 为 (
?c 3 , ? ? ?a 2 ? ? 2 ? 1 ? 1, ? a 2 2b 2 ?

x2 a2

?

y2 b2

, ? 1 ( a> b> 0)



?a ? 2, ? b ?1 故 ? ,

所以,椭圆方程为

x2 4

? y 2 ? 1 . ????4 分

( Ⅱ ) 由 题 意 可 知 , 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 为 0, 故 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y= kx+ m( m≠ 0) P( x 1 , y 1 ) Q( x 2 , y 2 ) , , , y ? kx ? m, ? 2 2 2 由? 2 消 去 y 得 ( 1+ 4k ) x + 8kmx+ 4( m - 1) = 0, 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0, 2 2 2 2 2 2 2 则 △ = 64 k b - 16( 1 + 4k b ) b - 1) = 1 6( 4k - m + 1 ) > 0, ( ?8km 4(m 2 ? 1) 且 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . ????6 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 2 故 y 1 y 2 = ( kx 1 + m) kx 2 + m) = k x 1 x 2 + km ( x 1 + x 2 ) + m . ( 因 为 直 线 OP, PQ, OQ 的 斜 率 依 次 成 等 比 数 列 , y1 y2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?8 k 2 m 2 ? = 所以, = k2, 即 + m 2 = 0, 又 m≠ 0, 2 x1 x2 x1 x2 1 ? 4k 1 1 所 以 k 2 = , 即 k= ? . ????10 分 4 2 由 于 直 线 OP, OQ 的 斜 率 存 在 , 且 △ > 0, 得 0< m 2 < 2 且 m 2 ≠ 1 . 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 1 1 则 S △ O P Q = d | PQ |= | x 1 - x 2 | | m |= m 2 (2 ? m 2 ) , 2 2 所 以 S △ O P Q 的 取 值 范 围 为 ( 0, 1) ????12 分 . 20.解 : I)根 据 茎 叶 图 可 知 ,这 20 名 志 愿 者 中 有 “ 高 个 子 ” 8 人 ,“ 非 ( 高 个 子 ” 12 人 , 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 出 5 人 , 则 每 个 人 被 抽 到 的 概 率 为 5 1 1 1 ? , 以 应 从 “ 高 个 子 ” 中 抽 8 ? ? 2 人 , “ 非 高 个 子 ” 中 抽 1 2? ? 3人 . 所 从 4 4 20 4 用事件 A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”,则它的对立事件 A表 C32 3 7 示 “ 没 有 一 名 ‘ 高 个 子 ’ 被 选 中 ” , 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? ? , C5 10 10 7 因 此 至 少 有 1 人 是 “ 高 个 子 ” 的 概 率 是 ; ????6 分 10

( II) 依 题 意 知 , 所 选 志 愿 者 中 能 担 任 “ 礼 仪 小 姐 ” 的 人 数 X 的 所 有 可 能 为 0,1,2,3.
3 C4 1 P ? X ? 0? ? 3 ? , C8 14 1 2 C4 C4 3 P ? X ? 1? ? ? , C83 7

2 1 3 C4 C4 3 C4 1 P ? X ? 2? ? ? , P ? X ? 3? ? 3 ? , 3 C8 7 C8 14

因此,

X 的分布列如下:
0
1 14

X
P
所以

1
3 7

2
3 7

3
1 14

X 的 数 学 期 望 EX ? 0 ?

1 3 3 1 3 ? 1? ? 2 ? 3 ? ? ? .????13 分 14 7 7 14 2

21.解 : Ⅰ ) f ( x)的定义域为(0,??), f ?( x) ? ( 令 f ?( x) ? 0得x ? e1?a , 当 x ? (0, e 当 x ? (e
1? a

1 ? (ln x ? a) , x2

)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是 增 函 数 ;

1? a

,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是 减 函 数 ;

1? a 1? a a ?1 ∴ f ( x)在x ? e 处取得极大值, f ( x) 极大值 ? f (e ) ? e , 无 极 小 值 . ????4 分

时 ( Ⅱ ) ① 当 e1?a ? e 2 时 , 即 a ? ?1 ,

由 ( Ⅰ ) 知 f ( x)在(0, e

1? a

) 上 是 增 函 数 , 在 (e1?a , e 2 ] 上 是 减 函 数 ,

? f ( x ) max ? f ? e1? a ? ? e a ?1 ,
?a 2 又 当 x ? e ? a时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ? a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ? a , e 2 ]

? 0,当x ? (0, e ? a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ? a , e 2 ] 时 , f ( x) ? (0.e a ?1 ) ,
2 ∴ f ( x)与图象g ( x) ? 1的 图 象 在 (0, e ] 上 有 公 共 点 , ? e a ?1 ? 1.

解 得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1 . ② 当 e1?a ? e 2即a ? ?1 时 , f ( x)在(0, e ] 上 是 增 函 数 ,
2
2 2 ∴ f ( x)在(0, e ]上的最大值为f (e ) ?

2?a , e2

所以原问题等价于

综 上 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ?1, ?? ? . ( Ⅲ ) 令 a =1, 由 ( Ⅰ ) 知 ,

2?a ? 1, 解得a ? e 2 ? 2. 又 ? a ? ?1, ∴ 无 解 , e2

????10 分

l nx ? 1 ? 1(x ? 0 ) ? l x ? x ? 1 , n , x

* ? a1 ? 1 , 假 设 ak ? 1(k ? N ), * 则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 , 故 an ? 1(n? N )
n 1 从 而 an ?1 ? l n an ? an ? 2 ? 2an ??1 ? an ?1 ? 2(1 ? an ) ? ? ? 2 (1 ? a1 ) ,

即 1 ? an ? 2 ? an ? 2 ? 1.
n n

????14 分


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