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指数函数导学案

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指数函数及其性质(3 课时)
班级: 姓名 学号 学习任务: (1)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指 数函数的单调性和特殊点; (2) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的 过程、数形结合的方法等. 学习重点:指数函数的的念和性质. 学习难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 学习过程:

一、自主学习 1、问题 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个, 2 个分裂成 4 个,……依此类推,写出
1 个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数解析式? 问题 2:公元前 300 年左右,中国有位杰出的学者庄子,在他的文章《庄子· 天下篇》 中写 道:一尺之棰,日取其半,万世不竭。意思是,一尺长的木棍,每天截掉一半,千年万载也 截不完!设第 x 天截得的木棍长度为 y 尺。根据这句话,试求 x 与 y 之间的函数关系。

解答:问题 1 函数解析式为_________

问题 2 函数解析式为_______

思考(1)以上两个函数有何共同特征?当 x 扩充到 R 时,称作什么函数? (2)这类函数与我们学过的函数 y=x, y ? x ?1 , y ? x 2 一样吗?有什么区别?

2、指数函数的概念 (1)指数函数的定义:一般地,函数_____________________叫做指数函数,其中 x 是
自变量,函数的定义域为_____________. (2)指数函数解析式的特征:___________________________________________________ (3)为什么规定底数 a >0且 a ≠1呢?为什么定义域为 R? (4)利用指数函数的定义解决: 二、练一练:例 1.判断下列函数是不是指数函数,为什么?

①y ? x 2 ⑤y ? 3x ?1

②y ? x x

③y ? ? x

④y ? 2 ? 3x ⑧y ? 3? x

⑥y ? 3x ? 1 ⑦y ? ?3x
x x

注意:指数函数的解析式 y= a 中, a 的系数是 思考:确定一个指数函数需要什么条件? 例 2.指数函数 f(x)的图像经过点(2,9) ,求解析式及 f(1) , f(-2)

1

合作探究一: 三、指数函数y ? a

x

(a ? 0且a ? 1)的图象特征的学习

1 1.在同一直角坐标系中用描点法画出函数y ? 2 x 与y ? ( ) x 的图象; 2

列表: y ? 2 x
1 y ? ( )x 2
描点、连线:

x y x y

… … … …

-3

-2

-1

0

1

2

3

… …

-3

-2

-1

0

1

2

3

… …

y
观察、思考: (1) 这两个函数的图象有什么关系? (2) 这两个函数的图象各有什么特点? 试着从以下几个方面找出这两个图象的共同 点和不同点: ① 图象范围

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

② 图象经过的特殊点

③图象从左向右的变化趋势

x

2.观察底数 a 取其它值时函数图象变化的情况

归纳结论: (1)两个指数函数的图象关于y轴对称时其解析式的特点:____________ (2)指数函数的图象与底数a之间的规律:______________
巩固练习一:

1.下列函数一定是指数函数的是 ______ A. y ? 2x?1 B. y ? x3 C. y ? 2?2 x D. y ? 3 ? 2x

2.函数y ? (2a ?1) x 为指数函数, 求a满足的范围______

2

y y=1
(0,1)

y y=1
(0,1)

x 合作探究二:四、指数函数0 y ? a x(a ?x0且a ? 1)的图象特征的学习
你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?请完成下面表格: a>1 0<a<1

0

图 象

定义域 性 值域 过定点 质 当 x>0 时 当 x<0 时 单调性 y y y y

五、指数函数的应用
例 3: 较下列各题中几个值的大小:

①1.72.5 ,1.73 ②0.8?0.1,0.8?0.2 ③1.70.3 ,0.93.1

例题 3 解题方法小结:比较两个指数数幂的大小 练一练:1.完成课本第 73 页练习 1。

3.已知a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 , 则a, b, c的大小关系是_________

例 4.若(0.7)m
2 6

? (0.7)n , 则m和n的关系是____

例5:求满足下列不等式的正数a的范围 (1) a 3 ? a 5 , 正数a的取值范围是 _______ (2) a 5 ? a 5 , 正数a的取值范围是 _______
6

3

例6 : 解不等式2 x

2

?1

? 2 x ?1

变式1 : 解不等式a x

2

?1

? a x ?1 (a ? 0,, 且a ? 1)

变式2:解不等式① 2 x

2

?x

? ( 1 ) x ? 2 ② 0.3( 3 x ?1)( 2 x ?1) ? 1 4

例 4-例 6 解题方法小结——解指数不等式:________________________________________ 合作探究三: 六、复习 :在同一坐标系中,作出函数图象的草图:

1 y ? 2x , y ? ( )x , 2 1 y ? 5x , y ? ( )x 5 1 y ? 10 x , y ? ( ) x 10

规律:当底数a>1时,在y轴右侧,底数越大,图像越靠近 当底数 a<1 时,在 y 轴右侧,底数越小,图像越靠近 提示:在图中作直线 x=1,与它们图象交点的纵坐标即 的底数由 变 。
x x x

轴,增长越 。 轴,减少越 。 ,交点从上到下相应
x

3.如图所示,是指数函数 (1) y ? a , (2) y ? b , (3) y ? c , (4) y ? d 的图象,试确定底数

a, b, c, d 的大小关系。

八、高考真题赏析
1 不等式 2 2 方程 3
x ?1 x2 ?2 x?4

?

1 的解集为 2

?

1 的解是 9

3 已知 a ?

5 ?1 x 函数 f ( x) ? a ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为 2

4


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