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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)第二章第12讲知能训练轻松闯关

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1.(2016· 九江模拟)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) x 解析:选 D.函数 f(x)=(x-3)e 的导数为 f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函 数导数与函数单调性的关系,得当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,此时由不等式

f′(x)=(x- 2)ex>0,解得 x>2. 2.已知函数 f(x)=2x3-6ax+1,a≠0,则函数 f(x)的单调递减区间为( ) A.(-∞,+∞) B.( -a,+∞) C.(-∞,- a)和( a,+∞) D.(- a, a) 解析:选 D.f′(x)=6x2-6a=6(x2-a),当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0;当 a>0 时,由 f′(x)<0 解得- a<x< a,所以当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(- a, a). 1 3.(2016· 长春调研)已知函数 f(x)= x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的 2 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3 解析:选 A.f′(x)= x2+a,当 a≥0 时,f′(x)≥0 恒成立,故“a>0”是“f(x)在 R 上单 2 调递增”的充分不必要条件. 4.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a) 解析:选 A.由(x-a)f′(x)≥0 知,当 x>a 时,f′(x)≥0;当 x<a 时,f′(x)≤0.所以当 x =a 时,函数 f(x)取得最小值,则 f(x)≥f(a). 5.(2016· 郑州第一次质量预测) 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-3)=f(5)=1, f′(x)为 f(x)的导函数, 且导函数 y=f′(x) 的图象如图所示,则不等式 f(x)<1 的解集是( ) A.(-3,0) B.(-3,5) C.(0,5) D.(-∞,-3)∪(5,+∞) 解析:选 B.依题意得,当 x>0 时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当 x<0 时,f′(x)<0,f(x) 是减函数.又 f(-3)=f(5)=1,因此不等式 f(x)<1 的解集是(-3,5). 6.已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex,若 f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则 a 的取值 范围是( ) 3 A.0<a< 4 3 C.a≥ 4 1 3 B. <a< 2 4 1 D.0<a< 2 解析:选 C.f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由题意当 x∈[-1, 1]时,f′(x)≤0 恒成立,即 x2+(2-2a)x-2a≤0 恒成立. 令 g(x) = x2 + (2 - 2a)x - 2a , 则 有 ?g(-1)≤0, ? ? ? ?g(1)≤0, 即 2 ? (-1)-2a≤0, ?(-1) +(2-2a)· 3 ? 2 解得 a≥ .故选 C. 4 ?1 +2-2a-2a≤0, ? 7.函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π )上的单调情况是________. 解析:在(0,2π)上有 f′(x)=1-cos x>0,所以 f(x)在(0,2π)上单调递增. 答案:单调递

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