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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第二十二讲 正弦定理和余弦定理

时间:2014-10-06


第二十二讲
括号内.)

正弦定理和余弦定理

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的

1.(2010· 湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3


)

解析: 依题意得 0° <B<60° ,由正弦定理得 1-sin2B= 答案:D 6 ,选 D. 3

a b bsinA 3 = 得 sinB = = , cosB = sinA sinB a 3

2.(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC =2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° ) B.60° D.150°

b2+c2-a2 - 3bc+c2 解析: 由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b, 由余弦定理得 cosA= = = 2bc 2bc 3 ,于是 A=30° ,故选 A. 2 答案:A 3.(2010· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 C. 3 3 2 B. 3 3 D. 4 )

1 2 解 析 : 设 AC = 1 , 则 AE = EF = FB = AB = , 由 余 弦 定 理 得 CE = CF = 3 3 AE2+AC2-2AC· AEcos45° = CE2+CF2-EF2 4 5 ,所以 cos∠ECF= = , 3 2CE· CF 5 4?2 1-? ?5? 4 5 3 = . 4

sin∠ECF 所以 tan∠ECF= = cos∠ECF 答案:D

π? 4.(2011· 青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈? ?0,2?,则△ABC 的 形状是( )

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2, a 2 a 2 ∴lg =lgsinB=lg .∴ =sinB= . c 2 c 2 π? π ∵B∈? ?0,2?,∴B=4,由 c= 2a, a2+c2-b2 3a2-b2 2 得 cosB= = = . 2ac 2 2 2a2 ∴a2=b2,∴a=b. 答案:D 5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 B.3+ 3 D.2+ 3 )

4+ 2 3 1 1 1 3 解析:2b=a+c, ac·= ?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac· ?b2= 2 2 2 2 3 3+ 3 ?b= . 3 答案:C 6.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a、b、c 是三角形中各内角的对应边,若 sin2A- 1 cos2A= ,则( 2 )

A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 1 1 解析:由 sin2A-cos2A= ,得 cos2A=- , 2 2 又 A 是锐角,所以 A=60° ,于是 B+C=120° . B+C B-C 2sin cos 2 2 b+c sinB+sinC 所以 = = 2a 2sinA 3 B-C =cos ≤1,b+c≤2a. 2 答案:C

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) b a 7.(2010· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC, a b tanC tanC 则 + 的值是________. tanA tanB

1 解析:解法一:取 a=b=1,则 cosC= , 3 4 由余弦定理和 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= . 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 ∴ tanC tanC + =4. tanA tanB

a2+b2 a2+b2-c2 b a 解法二: + =6cosC 得, =6· , a b ab 2ab 3 即 a2+b2= c2, 2 ∴ = cosA cosB? tanC tanC sin2C + + =tanC? = ? sinA sinB ? cosCsinAsinB tanA tanB 2c2 =4. a2+b2-c2

答案:4 8.(2010· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB +cosB= 2,则角 A 的大小为________. π? 解析:由 sinB+cosB= 2sin? ?B+4?= 2得 π? π a b asinB sin? ?B+4?=1,所以 B=4.由正弦定理sinA=sinB得 sinA= b = π 2· sin 4 1 = ,所以 A= 2 2

π 5π 或 (舍去). 6 6 π 答案: 6 9.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB =135° .若 AC= 2AB,则 BD=________. 1 2 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD= a,CD= a,所以根据 3 3 2 ?2 1 ?2 2 1 余弦定理可得 b2=( 2)2+? ,c2=( 2)2+? , ?3a? -2× 2×3acos45° ?3a? -2× 2×3acos135° 由题意知 b= 2c,

1 可解得 a=6+3 5,所以 BD= a=2+ 5. 3 答案:2+ 5 1 10.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD 2 =2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 1 解析:由∠ADB=120° 知∠ADC=60° ,又因为 AD=2,所以 S△ADC= AD· DCsin60° =3 2 1 - 3,所以 DC=2( 3-1),又因为 BD= DC,所以 BD= 3-1,过 A 点作 AE⊥BC 于 E 2 1 点,则 S△ADC= DC· AE=3- 3,所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1,所以 BE 2 = 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE,所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45° , 在直角三角形 AEC 中,EC=2 3-3,所以 tan∠ACE= =75° ,所以∠BAC=180° -75° -45° =60° . 答案:60° 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.(2010· 全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a 求内角 C. 1 1 +b , tanA tanB AE 3 = =2+ 3,所以∠ACE EC 2 3-3

解:由 a+b=a

1 1 +b 及正弦定理得 tanA tanB

sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB, π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π? ?π ? 即 sin? ?A-4?=sin?4-B?. 又 0<A+B<π, π π π 故 A- = -B,A+B= , 4 4 2 π 所以 C= . 2 12.(2010· 辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+ c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC =14,DC=6,求 AB 的长.

AD2+DC2-AC2 解: 在△ADC 中, AD=10, AC=14, DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC 100+36-196 1 = =- , 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° ,

AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB 10× 2 2 3 2

AD· sin∠ADB 10sin60° ∴AB= = = sinB sin45°

=5 6.

第一讲

集合与集合的运算 日期

班级________ 姓名________ 考号________ ________
内.) 1.(2010·天津)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 的取值范围是( ) B.{a|a≤2,或 a≥4}[来源:学.科.网] D.{a|2≤a≤4}

得分________

一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号

则实数 a

A.{a|0≤a≤6} C.{a|a≤0,或 a≥6}

解析 :由于不等式|x-a|<1 的解是 a-1<x<a+1,当 A∩B= ? 时,只要 a+1≤1 或 a-1≥5 即 可,即 a≤0 或 a≥6,选 C. 答案:C

? 1? A ? ? x | log 1 x≥ ? , 则?R A ? 2.(2010·安徽)若集合 2? ? 2

?

? A.(??, 0] ? ? ? ? ? C.(??, 0] ? ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

? B. ? ? ? ? D. ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

?x ? 0 ? 1 1 解析 : 不等式log 1 x≥ ? ? 2 ? 1 1 ? ? 2 ?log x≥log 1 ? ? 2 2 ? 2 ?2? ?x ? 0 ? 2 ? 2 ? , ?? ? ? 2 ? 0 ? x≤ 2 , 所以?R A ? (??, 0] ? ? ? ?. ? 2 ? ? x≤ ? 2
答案:A 3.已知 M={x|x=a +2a+4,a∈Z},N={y|y=b -4b+6,b∈Z},则 M?N 之间的关系是( A.M?N B.N?M C.M=N D.M 与 N 之间没有包含关系 解析:取 a=0,则 4∈M,但 4 ? N,若不然,有 b -4b+6=4,b ? Z.又取 b=0,6∈N,但 6 ? M.
2 2 2

)

答案:D 4.设全集为 U,若命题 p:2010∈A∩B,则命题 A.2010∈A∪B

? p 是(

)

B.2010 ? A 且 2010 ? B

?U
解析:命题 答案:D

?U

?U

? UB)

? p 是 20

? U(A∩B),即 2010∈( ? U

? UB).

评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质

? U(A∩B)=( ? U
2

? UB)与

? U(A∪B)=(
2

? UA)∩( ? UB)能够加强联想与发散.
2 2

5.已知集合 P={y=x +1},Q={y|y=x +1},S={x|y=x +1},M={(x,y)|y=x +1},N={x|x≥1}, 则( ) A.P=M C.S=M B.Q=S D.Q=N

解析:集合 P 是用列举法表示,只含有一个元素,集合 Q,S,N 中的元素全是数,即这三个集 合都是数集,集合 Q 是函数 y=x +1 中 y 的取值范围{y|y≥1},集合 S 是函数 y=x +1 中 x 的取 值范围 R;集合 N 是不等式的解集{x|x≥1},而集合 M 的元素是平面上的点,此集合是函数 y=x +1 图象上所有的点组成的集合.选 D. 答案:D
2 2 2

评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被 x,y 等字母所迷惑,要 学会透过现象看本质. 6.定义集合 M 与 N 的新运算如下:M*N={x|x∈M 或 x∈N,但 x M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3, 6,9,12,15},则(M*N)*M 等于( A.M C.N B.{2,3,4,8,9,10,15} D.{0,6,12} ) 若

解析:因为 M∩N={0,6,12},所以 M*N={2,3,4,8 ,9 ,10,15},所以 (M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选 C. 答案:C 评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M 的解,解决这类信息迁移题的 基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交?并?补的运算体系之中, 并用已有的解题方法来分析?解决新的问题.另外此题还可以用 Venn 图来分析求解.[来 源:Z#xx#k.Com] 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)[来 源:Zxxk.Com] 7.(2010·重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若
2

? UA={1,2},则实数

m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网 Z§X§X§K] 解析:依题意得 A={0,3},因此有 0+3=-m,m=-3. 答案:-3 8.已知 A={x|x>3 或 x<-1},B={x|a≤x≤b}.若 A∪B=R,A ∩B={x|3<x≤4},则 a,b 的值分 别为________. 解析:画出数轴可知 a=-1,b=4. 答案:-1,4[来源:学科网 ZXXK] 9.已知 U={实数对(x ,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则 瘙 綂

[

KG-1mm]UA∩B=________.

解析:容易错解为:由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2,故 A=B,则

? UA∩B= ? .

上 述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2(x>2),[来源:学科网] ∴A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},

? UA ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.
答案

? UA∩B={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}

10.已知集合 A?B 与集合 A⊙B 的对应关系如下表: A B {1,2,3,4,5} {2,4,6,8} {-1,0,1} {-2,-1,0,1}[来 源:Zxxk.Com] A⊙B {1,3,6,5,8} {-2} {-2,0,2,8} {-4,8} {-4,-2,0,2}

若 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出 A⊙B=__________. 解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合 A⊙B 中的元素是 A∪B 中的元素再去掉 A∩B 中的元素组成,故当 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}. 答案:{2010,2011} 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分 ,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.规定 与 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数 a,b 有
2

+b +1)且-2<a<b<2,a,b∈Z.用列举法表示集合

2

a ?b? ? A ? ? x | x ? 2(a ? b) ? ?. b ? ?
解:根据 运算法则有[来源:学科网]

x ? 2(a ? b) ?

a?b b
2

? 2ab ? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? a ? b ? ? 1. 当a ? ?1时, b ? 0或b ? 1.因为在 a?b 中, b b为分母, 故b ? 0不符合题意, 舍去.

当 a=0 时,b=1. 把 a=-1,b=1 或 a=0,b=1 代入 x=(a+b) +1 得 x=1 或 x=2.故 A={1,2}. 12.已知集合 A={2,x,x ,xy},集合 B={2,1,y,x},是否存在实数 x,y 使 A=B?若存在,试求
2 2

x,y 的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在实数 x,y 使 A=B,若 x=1,则集合 A,B 中出现 2 个 1,这与集合中元素的互异 性矛盾,所以必有

? x2 ? y, ? x2 ? 1, 或? ? ? xy ? 1, ? xy ? y.
(1)由 x =y 且 xy=1,解得 x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (2)由 x =1 且 xy=y,解得 x=1,y∈R(舍去)或 x=-1,y=0.经检验 x=-1,y=0 适合题意. 13.已知两集合 A={x|x=t +(a+1)t+b},B={x|x=-t -(a-1)t-b},求常数 a、b,使 A∩B={x|-1≤x≤2}.
2 2 2 2

? ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 解 : A ? ? x | x≥ , B ? x | x ≤ ? ? ?, 4 4(?1) ? ? ? ? A ? B ? ?x | ?1≤x≤2? , ? 4b ? (a ? 1)2 ? ?1 ? ? 4 ?? , 2 ? 4b ? (a ? 1) ? 2 ? ? ?4
解得 a=-1,b=-1.


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