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江西省吉安县二中2013届高三4月第三次周考试卷 理科数学


数学(理科)
班别________学号_______姓名______________得分_______ 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(共 50 分)
一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的

. 1.已知集合 A ? {3, a 2 } ,集合 B ? {0, b, 1 ? a} ,且 A ? B ? {1} ,则 A ? B ? ( ) A. {0, 1, 3} B. {1, 2, 4} C. {0, 1, 2, 3} D. {0, 1, 2, 3, 4}

2. 如图,在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA , OB ,则复数 的点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

??? ?

??? ?

z1 对应 z2

3. 如图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 在一个周期内的图

像,M、N 分别是最大、最小值点,且 OM ? ON ,则 A ? ? 的值为

???? ?

????

A.

? 6

B.

2? 6

C.

7? D. 6

7? 12

[来源:Z#xx#k.Com]

4.函数 y ? cos x ?

1 x 的图象可能是 2

A

B

C

D

?x ? y ? 3 y ?1 ? 5. 设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 取值范围是 x ?2 x ? y ? 3 ? 3 3 1 A. [1, 3] B. [1, ] C. [ ,3] D. [ , 2] 2 2 2
6.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2 , 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上 运动, 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的 中点的轨迹的面积( ) A. 4? B. 2? C. ? D.

? 2

a2 ? e x2 y 2 ? 7.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e ,当 的最 b a b 3
小值时,双曲线的实轴长为
-1-

A. 2 B. 2 2 C. 2 D. 4 8.某农科所要在一字排开的 1, 2,3, 4,5, 6 六块试验田中,种植六种不同型号的农作物,根据 要求,农作物甲不能种植在第一及第二块试验田中,且农作物乙与甲不能相邻,则不同的种 植方法有 A. 96 种 B. 192 种 C. 216 种 D. 312 种 ? 9 . 已 知 y ? f( x 3 )的 图 象 关 于 点 (?3,0) 对 称 , 函 数 f ( x) 对 任 意 x ?R 都 有 f ( x? 6 )? f ( x ) 2f ,则 f (2013) ? ? (3) A. 0 B. 1 C. ?1 D. 2 10.已知函数 f ( x) ? ? 围是 A. ? ,1?

? 2 1 ?? x ? x, x ? 0, 若函数 y ? f ( x) ? kx 有三个零点,则 k 的取值范 2 ? ln( x ? 1), x ? 0, ?
B. [ ,1]

?1 ? ?2 ?

1 2

C. (0,1)

D. ( , ??)

1 2

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.函数 f(x)=x3﹣x2+x+1 在点(1,2)处的切线与函数 g(x)=x2 围成的图形的面积等 于 . 12. ( x ?
4

1 8 ) 展开式中,含 x 的非整数次幂的项的系 x

开始

数之和为 . 13. 如果执行如图所示的程序框图,如果输出的 t 值为 . 120 ,那么判断框中正整数 m 的最小值是 14 . 已 知 点 A, B, C 是 单 位 圆 O 上 的 动 点 , 满 足

k ?1

?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? O ? A ? B C.



?

?

AC ? 2 AB





t ?1

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做, 则按第一题评阅计分,本题共 5 分。 15(1) (坐标系与参数方程选做题)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 . ? ? 2cos ? 相交的弦长为 15(2) (不等式选讲题) 已知实数 a ? 0 且函数 f ? x? ? x ? 2 a ? x ? a 的值域为

t ? m?

t ? t ?t ?k



输出 t

{ y ?3a 2 ? y ? 3a 2 } ,则 a=_______.。

k ? k ?1

结束

-2-

数学(理科)答题卷
命题及审题人:高三数学备课组 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 14. 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分。 15.(1) (2) 12. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 2013-3-23 9 10

四、 解答题:本题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 h ? (cos B,? cos A), k ? (a, b), h ? k ? B、C 的对边长. (1)求 tan A ? cot B 的值; (2)求 tan( A ? B) 的最大值.

3 c, 其中 a、b、c 分别是 ?ABC 的三内角 A 、 5

17. (本小题满分 12 分) 某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训,以促进教师的专业发展,每 位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培.现知全市教师中,选择心理学培 训的教师有 60%,选择计算机培训的教师有 75%,每位教师对培训项目的选择是相互独立 的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率; (2)任选 3 名教师,记 ? 为 3 人中选择不参加培训的人数,求 ? 的分布列和期望.
-3-

18. (本小题满分 12 分) 20.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(1)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ?( n ? N* )中, an ?1 ? an , a2 a9 ? 232 , a4 ? a7 ? 37 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)若将数列 ?a n ?的项重新组合,得到新数列 ?bn ?,具体方法如下: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 ,

b3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ,b4 ? a8 ? a9 ? a10 ? ? ? a15 , …,依此类推, n 项 bn 由相应的 ?a n ? 中 第 1 2n ?1 项的和组成,求数列 {bn ? ? 2n } 的前 n 项和 Tn . 4

-4-

20. (本小题满分 13 分) 已 知 椭 圆 C1 :

y 2 x2 3 6 , 且 经 过 点 (1, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 e ? ) ,抛物线 2 3 2 a b C2 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 与椭圆 C1 的一个焦点重合.

(1)过 F 的直线与抛物线 C2 交于 M , N 两点,过 M , N 分别作抛物线 C2 的切线 l1 , l2 ,求直 线 l1 , l2 的交点 Q 的轨迹方程; (2)从圆 O : x ? y ? 5 上任意一点 P 作椭圆 C1 的两条切线,切点为 A, B ,试问 ?APB 的
2 2

大小是否为定值,若是定值,求出这个定值,若不是说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) 对任意的实数 x1 , x2 ? D ,均有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,则称函数

f ( x) 是区间 D 上的“平缓函数”.
(1) 判断 g ( x) ? sin x 和 h( x) ? x ? x 是不是实数集 R 上的“平缓函数”,并说明理由;
2

(2) 若数列 ? xn ? 对所有的正整数 n 都有 xn ?1 ? xn ? 求证: yn ?1 ? y1 ?

1 ,设 yn ? sin xn , (2n ? 1) 2

1 . 4

-5-

数学(理科)参考答案
一 、选择题:CBCAA 二、 填空题: 11. 12. 184 DBDAA 13. 24 14. 3(cos ? ? 1)

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分。 15(1) 3 (2)1

三 解答题:本题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) 解: 任选 1 名教师, 记“该教师选择心理学培训”为事件 A , “该教师选择计算机培训”为事件 B , 由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (1)任选 1 名,该教师只选择参加一项培训的概率是 …………1 分

P ? P( AB) ? P( AB) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 . 1
(2)任选 1 名教师,该人选择不参加培训的概率是

…………4 分

P0 ? P A B = P( A P( ?) ( ) ) B

0 . 4 0? 2 5 0 . 1 ? . .

…………5 分

因为每个人的选择是相互独立的, 所以 3 人中选择不参加培训的人数 ? 服从二项分布 B(3, , 0.1)
k k 3? k 且 P(? ? k ) ? C3 ? 0.1 ? 0.9 , k ? 0,2,, 1,3

…………6 分 …………8 分

即 ? 的分布列是

-6-

?
P

0 0.729

1 0. 243

2 0.027

3 0.001 …………10 分

所以, ? 的期望是 E? ? 1? 0.243 ? 2 ? 0.027 ? 3 ? 0.001 ? 0.3 . (或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.1 ? 0.3 . ) 18. (本小题满分 12 分) (1)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD .………………2 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD . ………………6 分
x A P E D z

…………12 分

y O B C

(2)解:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD .

因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD . 由 Dz , DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .……8 分 设 AB ? 4 ,则 D (0, 0, 0), A(4, 0, 0), B(4, 4, 0), C (0, 4, 0), P(2, 0, 2), E (1, 0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 所以 | cos n, v | ? 〈 〉 ……………10 分

? 3 x ? z ? 0,

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

………………10 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ? 19. (本小题满分 12 分) 解 析 : 1 ) 由 a2 a9 ? 232 与 a4 ? a7 ? a2 ? a9 ? 37 解 得 : ? (

3 11 . 11

……………12 分

? a2 ? 8 ?a2 ? 29 ,或 ? (由于 ?a9 ? 29 ?a9 ? 8

-7-

an ?1 ? an ,舍去) ,
设公差为 d ,则 ?

?a2 ? a1 ? d ? 8 ,解得 ?a9 ? a1 ? 8d ? 29

? a1 ? 5 , 所 以 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式 为 ? ?d ? 3

an ? 3n ? 2(n ? N* ) .
(4 分) (2)由题意得: bn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? a2 n?1 ? 2 ? ? ? a2 n?1 ? 2 n?1 ?1

? (3 ? 2n ?1 ? 2) ? (3 ? 2n ?1 ? 5) ? (3 ? 2n ?1 ? 8) ? ? ? [3 ? 2n ?1 ? (3 ? 2n ?1 ? 1)]

? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? [2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2n ?1 ? 4) ? (3 ? 2n ?1 ? 1)] ,
而 2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2 和
n ?1

? 4) ? (3 ? 2n ?1 ? 1) 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数列的前 2n ?1 项的
, 所
n ?1 n ?1



2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2n ?1 ? 4) ? (3 ? 2n ?1 ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2
(8 分) 所 以 b ? 3 ? 22 n ? 2 ? 3 ? 22 n ? 3 ? 1 ? 2n ? 9 ? 22 n ? 1 ? 2n , n

(2 ? 1) 1 ? 3 ? 3 ? 22 n ? 3 ? ? 2n 2 4

4

8

4

所以 b ? 1 ? 2n ? 9 ? 22 n , n

4 8 n 所以 T ? 9 (4 ? 16 ? 64 ? ? ? 22 n ) ? 9 ? 4(1 ? 4 ) ? 3 (4n ? 1) . n 8 8 1? 4 2
20. (本小题满分 13 分) 解 析 : 1) 设椭 圆的 半焦 距 为 c , 则 (

(12 分)

c 3 , 即 a ? 3c , 则 b ? 2c ,椭 圆 方程 为 ? a 3 y2 x2 y 2 x2 6 ? 2 ? 1 ,将点 (1, ? ? 1 焦点坐 ) 的坐标代入得 c 2 ? 1 ,故所求的椭圆方程为 2 3c 2 2c 3 2 2 标为 (0, ?1) ,故抛物线方程为 x ? 4 y . (3 分) 设 直 线 MN : y ? kx ? 1 , 代 入 抛 物 线 方 程 得 x2 ? 4 kx ? 4 ? 0 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则

x1 ? x2 ? 4 k, x1 x2 ? ?4.
分) 由于 y ? 即

(4

1 2 1 1 1 1 x ,所以 y ' ? x ,故直线 l1 的斜率为 x1 , l1 的方程为 y ? x12 ? x1 ( x ? x1 ) , 4 2 2 4 2

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 x1 x ? x12 , 同 理 l 2 的 方 程 为 y ? x2 x ? x2 , 令 x1 x ? x12 ? x2 x ? x2 , 即 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 , ( x1 ? x2 ) x ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 显 然 x1 ? x2 , 故 x ? ( x1 ? x2 ) , 即 点 Q 的 横 坐 标 是 2 2 1 1 1 1 1 1 ( x1 ? x2 ) , 点 Q 的纵 坐标是 y ? x1 x ? x12 ? x1 ( x1 ? x2 ) ? x12 ? x1 x2 ? ?1 , 即点 2 2 4 4 4 4 (8 分) Q(2k , ?1) ,故点 Q 的轨迹方程是 y ? ?1 . (2)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点 P 在第一象限,则此时 P 点横坐标 为 2 ,代入圆的方程得 P 点的纵坐标为 3 ,此时两条切线方程分别为 x ? 2, y ? 3 ,此 π 时 ?APB ? , 2 y?
-8-

,若 ?APB 的大小为定值, 则这个定值只能是 分)

π . 2

(9

当两条切线的斜率都存在时,即 x ? ? 2 时,设 P( x0 , y0 ) ,切线的斜率为 k ,则切线方程为

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
( ? 3 k
2


0


0






2













2 ? x
2

) k

?y 4

(k? 0 x

. 0x? 分) 2 k ? ( x (7 )

?

y )

6

0

由于直线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是椭圆的切线,故

? ? [4k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(3 ? 2k 2 )[2(kx0 ? y0 )2 ? 6] ? 0 ,整理得
2 2 (2 ? x0 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? ( y0 ? 3) ? 0 .

(11 分)
2 y0 ? 3 2 2 ,点 P 在圆 x ? y ? 5 2 2 ? x0

切线 PA, PB 的斜率 k1 , k 2 是上述方程的两个实根,故 k1k2 ? ?
2 2 上,故 y0 ? 3 ? 2 ? x0 ,所以 k1k2 ? ?1 ,所以 ?APB ?

π . 2

(12

分) 综上可知: ?APB 的大小为定值,则这个定值只能是 21. (本小题满分 14 分)

π . 2

(13 分)

当 x1 ? x2 时,同理有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 成立 又当 x1 ? x2 时,不等式 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 ? 0 , 故对任意的实数 x1 , x2 ? R,均有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 . 因此 g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数”. 由于 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 1) …………… 5 分 …………… 6 分

-9-

取 x1 ? 3 , x2 ? 2 ,则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 4 ? x1 ? x2 , 因此, h( x) ? x ? x 不是区间 R 的“平缓函数”.
2

…………… 7 分 …………… 8 分

- 10 -


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